Основные понятия ЛП. Свойства задач ЛП

Множество D={xÎRⁿ| AX£B, X³0} называется допустимым множеством задач ЛП. Иначе говоря, это множество всех решений, удовлетворяющих всем ограничениям задачи. Поэтому форма записи модели не влияет на D.

Любое решение Х Î D называют допустимым решением задачи ЛП.

Допустимое решение Х^* является оптимальным для задачи максимизации, если выполняется неравенство

L (X ^*) ³ L (X), " X Î D.

Чтобы определить свойства допустимого множества задачи ЛП, обратимся к терминам теории множеств.

Множество называется замкнутым, если оно содержит и свою границу, в противном случае оно открытое. Множество может быть ограниченным, если на нем все переменные ограничены снизу и сверху, и неограниченным, если хотя бы одна переменная на нем не ограничена. Непрерывное множество выпукло, если вместе с любыми двумя точками оно содержит и весь соединяющий их отрезок, иначе множество будет невыпуклым.

Пусть условия задачи записаны в стандартной форме

å a_ijx_j£ b_i,

Так как в условия входят только непрерывные переменные, а отношения являются нестрогими, то порождаемое ими множество непрерывно и замкнуто. Возьмем одно неравенство. При двух переменных граница области, где выполняется это неравенство, представляет собой прямую, а множество значений переменных, удовлетворяющих строгому неравенству, расположено с одной стороны границы. Таким образом, неравенству соответствует полуплоскость, которая является выпуклым множесмом. При трех переменных границей будет плоскость, а соответствующее множество – выпуклым полупространством. При большем числе переменных неравенство порождает многомерное выпуклое полупространство с границей – гиперплоскостью.

Из теории множеств известно, что пересечение выпуклых множеств выпукло (если оно не пустое). В задаче ЛП число неравенств, а, значит, число полупространств, конечно. Их пересечение и дает допустимое множество D. В связи с этим дадим 2 определения.

Пересечение конечного числа выпуклых полупространств, если оно не пустое, называется выпуклым многогранным множеством.

Ограниченное выпуклое многогранное множество называется выпуклым многогранником.

Характерными примерами выпуклых многогранников являются различные пирамиды и призмы.

Таким образом, допустимое множество задачи ЛП может быть или выпуклым многогранным множеством, или выпуклым многогранником, или пустым. Других вариантов быть не может.

Критерий L =å C_jX_j – линейная функция и поэтому удовлетворяет условиям как выпуклости, так и и вогнутости одновременно.

Из теории экстремумов известно, что максимум вогнутой функции или минимум выпуклой функции на выпуклом множестве может достигаться только на границе.

Аналогичный вывод следует из рассмотрения критических точек целевой функции. Так как производная

= Const,

то точек, в которых она равна нулю или терпит разрыв, нет. Поэтому, если оптимум существует, то он может быть только на границе. Это важнейшее свойство задач ЛП.

Теперь введем понятие разрешимой задачи. Задача ЛП называется разрешимой, если она имеет хотя бы одно оптимальное решение, и неразрешимой в противном случае. Следует обратить внимание на то, что в этом определении не фигурируют допустимые решения, так как их наличие недостаточно для разрешимости задачи, что видно из нижеприводимых утверждений.

При решении задач ЛП возможны только три случая:

1) Условия задачи противоречивы (несовместны), допустимое множество пустое и, следовательно, задача неразрешима.

2) Условия задачи совместны, но допустимое множество неограниченно. Тогда возможны два исхода:

а) если критерий неограничен на этом множестве, то задача неразрешима;

б) если критерий ограничен, то задача разрешима.

3) Условия непротиворечивы и множество является выпуклым многогранником. В этом случае задача всегда разрешима.

Из приведенных утверждений, справедливость которых будет показана в следующем разделе, заключаем, что причиной неразрешимости задачи ЛП может быть либо неограниченность критерия, либо противоречивость ограничений.

Если модель задачи представлена в каноническом виде, то можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли для системы линейных уравнений. Согласно теореме система совместна, если ранги основной и расширенной матриц равны, и несовместна в противном случае. Однако из-за трудоемкости вычисления ранга этот способ не используется, а неразрешимость задачи, если она имеет место, обнаруживается в процессе движения к оптимуму или при анализе результатов.

Дата добавления: 2014-01-11