Исследования решений системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными

Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк. Поэтому, если строки расширенной матрицы А_В (т.е. уравнения системы), линейно независимы, то ранг матрицы А_В равен числу её уравнений, т.е. r = m, если линейно зависимы, то r < m.

Теорема (Кронекера-Капелли, критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда, только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1) Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r = n, то система имеет единственное решение.

2) Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r < n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Пусть r < n, r переменных х ₁, х ₂,..., х_r называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r называются неосновными (или свободными).

Решение системы, в котором все n - r неосновных переменных равны нулю, называется базисным.

Дата добавления: 2014-01-11