Матричный метод

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
Реализация в Exsel:

Ма́тричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A ^{- 1} — матрицу, обратную к матрице A:

Реализация в Excel:

Итерация для линейных систем.

Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы.
Для определенности ограничимся системой из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (система четвертого порядка), которую запишем в виде:

Разрешим первое уравнение системы относительно х₁:
х₁ = (-a₁₂/a₁₁)х₂-a₁₃/a₁₁х₃-a₁₄/a₁₁х₄-a₁₅/a₁₁.
Затем разрешим второе уравнение относительно х₂ и т. д. Тогда систему можно переписать в виде:

где α = -a_ik/a_ii, i = 1, 2, 3, 4; k = 1, 2, 3, 4, 5.
Система является частным случаем записи вида:

При этом линейная функция L₁ фактически не зависит от х₁.
Зададим какие-либо начальные значения неизвестных (нулевые приближения):
х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, х₃⁽⁰⁾, х₄⁽⁰⁾.
Подставляя эти значения в правые части системы (*), получим первые приближения:

Полученные первые приближения могут быть так же использованы для получения вторых, третьих и т. д. приближений. Т. е. можно записать:

Дата добавления: 2014-01-11