С вещественными коэффициентами

Частотные критерии устойчивости

1). Условия отрицательности всех вещественных частей корней уравнения

, (14)

а). Необходимое условие: все . В случае это условие является и достаточным.

б). Условие Рауса – Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были положительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

.

На главной диагонали этой матрицы стоят числа .В каждой строке индекса предыдущего числа. Числа с индексами или заменяются нулями.

Главные диагональные миноры матрицы Гурвица

в) Условия Льенара-Шипара. Необходимо и достаточно, чтобы все >0 и чтобы >0, >0, >0,…, где главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

Эти условия равносильны условиям Рауса-Гурвица, но удобнее, т.к. содержат меньше детерминантов.

Пример 3. Исследовать устойчивость нулевого решения уравнения

.

Решение.

Запишем условия Льенара-Шипара:

>0, >0

Условия Льенара-Шипара выполнены и, следовательно, корни уравнения имеют отрицательные вещественные части. Таким образом, если уравнение является характеристическим для некоторой линейной системы дифференциальных уравнений, то ее (системы) равновесное решение будет устойчивым, причем асимптотически.

г) Критерий Михайлова.

Необходимо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка , где левая часть характеристического уравнения, при изменении от 0 до +не проходила через начало координат и сделала поворот вокруг него на угол в положительном направлении.

Другая (эквивалентная) формулировка критерия Михайлова:

Необходимо и достаточно, чтобы корни многочленов

были все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня , т.е. 0<<<<<…

Заметим, что многочлен при равен .

Пример 4. . Здесь , , а многочлены , имеют корни . Значит, . По критерию Михайлова все корни многочлена имеют отрицательные вещественные части и нулевое решение устойчиво.

[1] Другое название таких точек – точки покоя.

Дата добавления: 2014-01-11