Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Подготовить сообщения по различным формам хозяйственных объединений:

- обществам;

- товариществам;

- унитарным предприятиям;

- производственным кооперативам. И т.д.

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэф­фициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка у^// + ру^/ + qу = 0, (1)

где р и q - константы.

Для нахождения общего решения уравнения (1) достаточно най­ти два его частных решения, образующих фундаментальную систему.

Будем искать частные решения уравнения (1) в виде y = е^kх, где k - некоторое число (этот способ предложено Л. Эйлером).

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у^/ и у^// в урав­нение (1), получим:

k²е^kх + рkе^kх + qе^kх = 0, откуда е^kх(k² +pk + q) = O, или k² + рk + q = 0 (е^kх ≠ 0). (2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением ДУ вида (1). Для его составления достаточно в уравнении (1) заменить у^//, у^/ и у соответственно на k², k и 1.

При решении характеристического уравнения (2) возможны сле­дующие три случая.

Случай 1. Корни k₁ и k₂ уравнения (2) действительные и различные числа, т.е. k₁ ≠ k₂.

В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции у₁ = и у₂ = . Они образуют фундаментальную систе­му решений, т.е. линейно независимы,

т. к. их вронскиан не равен нулю

W(x) = = k₂- k₁= (k₂ – k₁) ≠ 0

Следовательно, общее решение уравнения (1), имеет вид:

y = c₁+ c₂. (3)

Случай 2. Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (2) действительные и равные числа, т.е. k₁ = k₂.

В этом случае имеем лишь одно частное решение y₁ = . Покажем, что наряду с у₁ решением уравнения (1) будет и
у₂ = x.

Действительно, подставим функцию у₂ в уравнение (1), получим:

y^//₂ + py^/₂ + qy₂ = (х)" +р(х)' + q(x) = (2k₁+ x k²₁) + p(+ x k₁) + q(x) = (2k₁+ x k²₁ + p + pxk₁ + qx) = (x(k²₁ + pk₁ + q) + (p + 2k₁)).

Ho k²₁ + pk₁ + q = 0, т. к. k₁ есть корень уравнения (2); р+2k₁ = 0 т. к. по условию k₁ = k₂.

Поэтому y^//₂ + py^/₂ + qy₂ = 0, т. е. функция у₂ = xявляется решением уравнения (1).

Частные решения у₁ = и у₂ = x образуют фундаментальную систему решений: W(x) = ≠0. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (1) имеет вид

y = c₁+ c₂x (4)

Случай 3. Корни k₁ и k₂ уравнения (2) комплексные сопряженные числа:
k₁ = α + βi, k₂ = α - βi.

В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции у₁ = e^(α+iβ)x и у₂ = e^(α-iβ)x . По формулам Эйлера:

e^iφ = cos φ + isin φ и e^-iφ = cos φ - isin φ

имеем

y₁ = e^αx ∙ e^iβx = e^αxcos βx + ie^αxsin βx, y₂ = e^αx ∙ e^-iβx = e^αxcos βx - ie^αxsin βx.

Найдем два действительных частных решения уравнения (1). Для этого составим две линейные комбинации решений y₁ и y₂;

= e^αxcos βx = и = e^αxsin βx = .

Функции и являются решениями уравнения (1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка. Эти ре­шения и образуют фундаментальную систему решений, так как W(x) ≠ 0. Поэтому общее решение урав­нения (1) запишется в виде:

у = с₁e^αxcos βx + c₂e^αxsin βx, или у = e^αx(с₁cos βx + c₂sin βx). (5)

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго поряд­ка с постоянными коэффициентами (1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (2) и использованию фор­мул (3) - (5) общего решения уравнения.

Дата добавления: 2014-01-11