Векторное произведение векторов

Векторным произведением двух векторов называют такой вектор , модуль которого равен произведению модулей этих векторов на синус угла a между ними:

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора , а одно из его двух возможных направлений находят в соответствии с каким-либо из правил, приведенных ниже.

1) Правило правого винта

Представим себе, что вектор поворачивается по наименьшему углу между векторами к вектору . Вектор будет направлен в сторону поступательного движения винта с правой резьбой при вращении его головки в этом же направлении (рис. 9).

2) Правило буравчика

Направим винт буравчика вдоль вектора , а рукоятку буравчика вдоль вектора (рис. 10 а). Будем вращать рукоятку буравчика так, чтобы его винт поступательно двигался вдоль вектора . Тогда конец рукоятки буравчика начнет двигаться в направлении вектора .

3) Правило левой руки

Если четыре пальца левой руки направить по вектору , ладонь расположить так, чтобы вектор ”впивался” в нее, то вытянутый большой палец покажет направление векторного произведения (рис. 10 б).

4) Правило противочасовой стрелки

Если смотреть с конца вектора на векторы и , то кратчайший поворот по наименьшему углу от вектора к вектору будет происходить против часовой стрелки (рис. 10 в). Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях.

Рис. 10.

Орты декартовой системы координат связаны векторным произведением:С учетом этого векторное произведение векторов и можно представить в виде определителя 3-го порядка:

.

Раскрывая определитель, запишем:

Векторное произведение некоммутативно, при перемене мест сомножителей направление вектора меняется на противоположное,

Двойное векторное произведение трех векторов (здесь - произвольный вектор) находят по формуле “бац” минус “цаб”:

Дата добавления: 2014-01-11