Преобразование проективных координат

Рассмотрим на проективной плоскости два проективных репера и . Точки порождаются системой согласованных векторов , т.е. . Известно положение нового репера относительно старого, то есть известны координаты новых координатных точек и относительно репера , порожденных соответственно системой векторов :

, , ,

Задача. Найти связь между координатами точки М относительно реперов и

1. Выразим векторы, репера через векторы репера :

(*)

2. Рассмотрим два случая.

1 случай. Система векторов согласована относительно репера , т.е. . (**)

§ Из (*) и (**) следует, что в этом случае выполняется совокупность равенств: , , .

§ Так как произвольная точка проективной плоскости порождается различными векторами и в реперах и , то по лемме 2.6. , где . Разложим векторы и по векторам соответствующих базисов: . Подставим вместо их разложения из формул (*):

()+()+()=

§ Так как векторы линейно независимы, то, приравнивая коэффициенты при соответствующих векторах в левой и правой частях получившегося выражения, имеем искомые формулы преобразования координат:

§ Матрица перехода от нового проективного репера к старому: . Определитель матрицы отличен от нуля, так как точки - неколлинеарные, векторы их порождающие - линейно независимы.

2 случай. Система векторов не согласована относительно репера , т.е. .

§ Согласуем систему векторов относительно репера : возьмем вместо векторов векторы , , согласованные относительно репера и порождающие точки соответственно, т.е. (***).

§ Запишем равенство (***)в координатной форме:

,

, (****)

§ Рассмотрим (****) как систему с неизвестными . Так как система - неоднородна и определитель отличен от нуля, то определяются однозначно, причем не равны нулю одновременно.

§ Матрица - матрица перехода от репера к реперу

Замечание. Аналогичные рассуждения приводят к формулам преобразования координат на проективной прямой: .

Дата добавления: 2014-01-11