Пересечение овальной квадрики и прямой

Овальная линия второго порядка.

Полюс и поляра. Касательная к линии второго порядка.

Лекция 8

Пусть задана квадрика своим общим уравнением, которое не сведено к каноническому виду, и прямая d, заданная своим параметрическим уравнением , где p,q – координатные столбцы точек P,Q

x – координатный столбец любой точки Х

Для нахождения точки пересечения необходимо решить систему:

Координаты точки пересечения:

Подставив значения в уравнение квадрики, получим следующее уравнение

·

·

Решим квадратное уравнение относительно неизвестной :

- два корня две действительных точки пересечения - секущая;

- два мнимых корня две мнимых точки пересечения;

- два совпавших корня две совпавших действительных точки пересечения - касательная.

Уравнение касательной можно получить путём подстановки вместо координат точки Q координаты любой точки Х в условие .

Уравнение касательной имеет вид:

Теорема 8.1. В каждой точке невырожденной линии второго порядка, заданной общим уравнением, существует единственная касательная определяемая общим уравнением касательной.

Пусть дана невырожденная квадрика G в проективном репере и прямая d.

Определение 8.2. Точка называется внешней по отношению к квадрике, если из неё можно провести две касательных к этой квадрике, внутренней, если эти касательные провести нельзя.

(Р – внешняя, Q - внутренняя)

Пусть сложное отношение , тогда

По теореме Виета сумма корней уравнения равна нулю, тогда имеем что:

условие сопряженности точек P,Q относительно квадрики G.  

Говорят, что квадрика G гармонически разделяет пару P,Q или, что точки P,Q сопряжены относительно квадрики G.

Если рассмотреть множество всех точек Х сопряженных с фиксированной точкой Р, не принадлежащей G, то их координаты будут удовлетворять условию сопряженности: . Значит все точки сопряженные с Р лежат на одной прямой.

Определение 8.3. Полярой точки Р относительно квадрики G называется прямая, содержащая все точки гармонически сопряженные с точкой Р (если ); называется касательной если точка Р принадлежит квадрики, причем касательная проходит через Р.

Определение 8.4. Точка Р называется полюсом прямой относительно квадрики G, если р – поляра точки Р.

Дата добавления: 2014-01-11