Операции над векторами

1) Сложение векторов

Тогда

2) Умножение на скаляр , то

3) Скалярное произведение векторов

Пусть даны два вектора и . Сопоставим им число , называемое скалярным произведением и вычисляемое по правилу

где – угол между векторами.

Вычисление скалярного произведения в координатах.

Пустьи . Тогда .

Пример. Дан треугольник с вершинами , , . Найти величину угла .

Имеем: ;

Запишем формулу скалярного произведения: .

В координатах: ,

,

Отсюда , , .

4) Векторное произведение векторов

Сопоставим произвольной паре векторов , третий вектор , удовлетворяющий трем условиям:

а) вектор перпендикулярен к плоскости, натянутой на вектора и ;

б) длина равна площади параллелограмма , натянутого на вектора и ;

в) если смотреть с конца стрелки вектора на плоскость, образованную векторами и , то вращение (внутри ) от к должно происходить против часовой стрелки.

Вычисление векторного произведения в координатах. Даны векторы , , тогда .

Мнемоническая формула векторного произведения:

Пример. Найти площадь треугольника с вершинами , , .

Решение. Воспользуемся свойством векторного произведения: длина равна площади параллелограмма, натянутого на векторы , . Таким образом, нам нужно найти и затем положить .

Имеем: , ,

.

5) Смешанное произведение векторов

Произвольной тройке векторов , , сопоставим число, равное и называемое смешанным произведением векторов. Обозначается смешанное произведение через . Из формулы разложения определителя по строке следует, что

Геометрический смысл смешанного произведения

Из рисунка видно, что, с точностью до знака, смешанное произведение равно объему параллелепипеда, натянутого на векторы , , : .

Пример. Найти объем пирамиды с вершинами , , , .

Решение. Объем пирамиды вычисляется по формуле , а объем параллелепипеда по формуле . Следовательно, и . Остается вычислить смешанное произведение векторов . Имеем ,

,

.

Теперь вычисляем смешанное произведение в координатах:

Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве определяется произвольной точкой на ней и направлением, которое задается произвольным вектором, параллельным данной прямой.

Условие, что точка лежит на данной прямой, в векторной форме запишется в виде условия коллинеарности векторов и : .

Запишем данное равенство покоординатно, получим параметрическое уравнение прямой.

Выражая из каждого из трех уравнений системы, получим каноническое уравнение прямой:

Пример. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Направляющий вектор прямой –это вектор

Подставляя в шаблон канонического уравнения в числитель координаты точки , а в знаменатель - координаты вектора соответственно, получим:

.

Первое уравнение плоскости.

Предположим, что нам известны координаты некоторой точки плоскости и координаты двух неколлинеарных векторов, параллельных данной плоскости.

Тогда условие, что точка лежит в данной плоскости сводится к условия, что три вектора: , и параллельны этой плоскости, или, иначе, эти три вектора компланарны. Критерием компланарности векторов было равенство нулю их смешанного произведения: .

В координатной записи это дает первое уравнение плоскости: .

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки, и .

Решение. Найдем два вектора, параллельных плоскости .

, .

В качестве точки плоскости подставим уравнение координаты точки . Получим

Раскрывая определитель по первой строке, получим:

,

откуда

.

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим окончательно:

Û

Второе уравнение плоскости.

Пусть заданы координаты некоторой точки плоскости и координаты вектора , перпендикулярного к плоскости.

Теперь условие, что точка лежит в данной плоскости, сводится к взаимной перпендикулярности векторов и :

.

Переходя к координатной записи, получим:

.

Это – второе уравнение плоскости.

Пример. Дана точка и прямая

.

Написать уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно к прямой .

Решение. Направляющий вектор прямой является одновременно перпендикуляром к плоскости . Поэтому

,

откуда .

Дата добавления: 2014-01-11