Методи оцінювання параметрів моделі нелінійного виду

ТЕМА 4. НЕЛІНІЙНІ МОДЕЛІ ТА ЧАСОВІ РЯДИ

ПЛАН (ЛОГІКА)ВИКЛАДУ І ЗАСВОЄННЯ МАТЕРІАЛУ

4.1.Методи оцінювання параметрів моделі нелінійного виду.

4.2.Виробнича функція: аналіз рішення.

4.3.Часові ряди. Оцінка параметрів таких моделей.

4.4. Поняття тренду. Методи дослідження динамічних рядів.

Найбільш досконалою і вивченою серед усіх багатовимірних регресивних моделей є лінійна. Лише деякі природні та економічні процеси можна моделювати за допомогою лінійної моделі. Її вибір залежить від процесу і тривалості спостереження за ним. Деякі процеси при нетривалому спостереженні за ними можна з певним наближенням моделювати за допомогою лінійної багатофакторної моделі. Для повного опису процесу, як правило, необхідно використовувати нелінійні регресійні залежності.

В економіці для деяких процесів такі залежності відомі. Як приклад можна назвати виробничу функцію Кобба-Дугласа.

Використання ЕОМ дає змогу по-новому підійти до вивчення процесів, що залежать від багатьох факторів. Як і для парного регресійного аналізу, для багатофакторного регресійного аналізу можна розглядати два типи моделей: лі параметрів.

Багатофакторні регресійні моделі першого типу:

У = , (4.1)

де можуть бути різними функціями (наприклад, , , ),заміною змінних зводяться до лінійної моделі вигляду

(4.2)

Оцінки параметрів прогнозу і надійних інтервалів знаходять спочатку для лінійної моделі, а потім переходять до нелінійної моделі.

Окремі багатофакторні, нелінійні відносно параметрів, моделі можна зводити до багатофакторних лінійних регресійних моделей. Прикладом таких багатофакторних моделей може бути модель

(4.3)

Регресіями такого виду можна описувати процеси, що залежать від досягнутого рівня прогресу без істотних обмежень на ці процеси. Логарифмуванням і наступною заміною змінних таку модель можна звести до лінійної.

Для прикладу розглянемо регресію такого вигляду:

Y =l. (4.4)

Для приведення регресії (16.4) до лінійної прологарифмуємо її:

1пY= (4.5.)

Величини показника У і факторів мають бути додатними , де п - число спостережуваних періодів.

Проведемо заміну:

, , ,, ,

=,, , .

Для загальності запису системи нормальних рівнянь введемо позначення . Потім регресія (16.5) запишеться у вигляді:

(4.6)

Для оцінки параметрів регресії (16.6) використовується формула:

(4.7)

Оцінки параметрів регресії у вигляді многочлена

При виборі форми кривої парної регресії часто застосовують многочлени. Ця методика виправдовує себе тим, ще неперервну функцію можна представити у вигляді многочлена (розкласти функцію в ряд Тейлора). Порядок многочлена можна оцінити за порядком різниць показника. Припустимо, що залежність між показником і фактором представлена у вигляді многочлена т-го порядку.

(4.8)

Якщо то система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок.

Якщо задати прогнозне значення фактора Хпр. То оцінку прогнозного значення показника для регресії у формі многочлена знайдемо за формулою

(4.9)

враховуючи, що матриця коефіцієнтів нормальної системи рівнянь для многочлена буде мати вигляд

,

де

(4.10)

для довірчої зони довірчий напівінтервал даних (математичного сподівання) буде знаходитись за формулою

(4.11)

А довірчий інтервал для прогнозу індивідуальних значень за формулою

(4.12)

Аналіз індивідуального ринку

У наш час використання ЕОМ дає можливість проводити детальний аналіз індивідуальних ринків. Сама таблиця попиту та її представлення у вигляді кривої попиту не дає можливості виробнику знайти оцінку оптимальної ціни на даний вид товару та прийняти оптимальне рішення.

Нехай відома таблиця попиту:

Вводимо гіпотезу, що між ціною P та величиною попиту D існує стохастична залежність (4.13)

Для регресії у вигляді многочлена другого степеня оцінки параметрів регресії знаходять за формулою.

(4.14)

Вплив еластичності попиту на ринкові обороти

Якщо відома регресія попиту на певний вид товару = f(P), товарообіг у грошовому виразі дорівнює добутку реалізованого попиту на ціну товару = Р f(P). Виробника цікавлять зміни товарообігу в грошовому виразі залежно від зміни ціни на даний вид товару. Проведемо дослідження зміни товарообігу залежно від значень Р, тобто знайдемо проміжки зростання, спадання і точку екстремуму товарообігу . Для цього знайдемо похідну від по Р:

-

це коефіцієнт еластичності попиту.

Звідси випливає, що товарообіг є функцією від коефіцієнта еластичності попиту Kd. В залежності від знака розрізняють три різних варіанти коефіцієнта еластичності попиту:

1. Якщо похідна від товарообігу по ціні додатна Z. > 0, то при зростанні ціни Р зростає товарообіг . Оскільки з економічного змісту f(P) > 0, то Zp буде більше нуля, якщо 1 + Kd > 0. Звідки випливає, що на проміжку, де товарообіг зростає, коефіцієнт еластичності попиту Kd > -1. З іншого боку, регресія попиту спадна і тому f'(P) < 0. Звідки випливає, що Kd < 0.

Таким чином, на проміжку, де товарообіг зростає, коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від -1 до 0.

В економіці прийнято називати попит нееластичним, якщо коефіцієнт еластичності попиту змінюється в межах від -1 до 0.

Економічна інтерпретація.

1. Зміна ціни на 1% викликає зміну попиту в зворотному напрямку на Кd %, де 0 < Kd < -1, при цьому товарообіг у грошовому виразі зростає.

2. Якщо Z' < 0, то з підвищенням ціни на товар відбувається зниження товарообігу в грошовому виразі. Оскільки f(P) • [ 1+ Kd] < 0, a f(P) > 0, то 1 + Kd < 0. Звідки випливає, що Kd < -1.

3. Якщо значення коефіцієнта еластичності попиту для даної ціни Р менше 1, то попит при цій ціні еластичний.

Визначимо проміжки зростання та спадання товарообігу. Якщо регресія попиту має вигляд многочлена другого порядку , то товарообіг для цієї регресії знаходиться а формулою:

(4.15)

Знайдемо похідну від товарообігу по ціні:

(4.16)

З необхідної умови екстремуму Z' = 0 знайдемо критичні точки:

(4.17)

Визначення максимального прибутку

Нехай собівартість продукції складається із сталих затрат С та змінних затрат, пропорційних обсягу випуску продукції V D. У цьому випадку прибуток підприємства буде дорівнювати різниці між товарообігом у грошовому виразі і собівартістю продукції, тобто.

(4.18)

Знайдемо оцінку ціни, при якій прибуток буде максимальним. Якщо в деякій точці p₀, F досягає екстремуму, то в цій точці похідна дорівнює нулю. Знайдемо критичні точки

dF/dP=3a₂P²+2(a₁-Va₂)P+a₀ -Va₁=0 (4.19)

тобто одержимо квадратне рівняння

3 а₂ Р² + 2. P(a₁-Va₂)+ a₀ -V a₁ =0 (4.20)

Звідки отримаємо:

(4.21)

де

Точку екстремуму знаходимо, дослідивши регресію товарообігу. Припустимо, що це буде значення р₄, тоді оптимальна кількість продукції, що випускається, визначається за формулою:

, а максимальний прибуток:

Наведену методику дослідження індивідуального ринку можна застосувати для залежності товарообігу від собівартості, яка має більш складний характер. У такому випадку для знаходження екстремальних точок необхідно застосовувати чисельні методи розв'язування рівнянь.

Використання економетричної моделі

Аналіз товарообігу на основі регресії з оціненими параметрами і фактором — ціна товару — має важливе значення для монополіста при виборі оптимальної ціни товару за критерієм оптимізації «максимум прибутку».

Однак слід відмітити, що запропонована економетрична модель не може бути використана для всіх видів товарів і не враховує крайових ефектів. Так, для товарів першої необхідності попит не еластичний і звідси із збільшенням ціни товарообіг у вартісному виразі зростає.

Для такого товару немає сенсу казати про ціну, при якій прибуток буде максимальним. Тому питанням ціноутворення на товари першої необхідності займається держава.

Необхідно зауважити, що попит залежить не тільки від ціни, а й від рівня прибутку (криві Енгеля).

Враховуючи перехід України до ринкових відносин, слід відмітити нерівномірність розподілу прибутків, що вказано італійським економістом Вільфредом Паретто за матеріалами статистичних даних різних країн.

За нерівномірністю розподілу прибутків суспільство за рівнями прибутків можна умовно розділити на декілька груп, наприклад на три: з високим, середнім та низьким.

Очевидно, що попит на окремий вид товару при зміні його ціни у всіх трьох групах населення зміниться по-різному. Крім того, є деякі види товарів, які користуються попитом тільки в окремих верствах населення.

Враховуючи вищезазначене, стає можливим вивчати попит на товар у окремих верст населення (за рівнем прибутку, за діяльністю і т. д.).

Припустимо, що в результаті досліджень отримали три регресії попиту на даний вид товару:

для першої групи населення, для другої групи населення, для третьої групи населення.

Тоді регресію попиту для всіх верств населення залежно від вартості можна запропонувати у такому вигляді:

(4.22)

Монополіста цікавить інтегральна залежність еластичності попиту від вартості товару, тому якщо параметри всіх регресій оцінені, то

(4.23)

Інтегральний коефіцієнт еластичності попиту є середньозваженою величиною частинних коефіцієнтів еластичності попиту, де вагою виступає попит.

У загальному випадку для п верств населення оцінка інтегрального коефіцієнта еластичності для ціни Р знаходиться за формулою:

(4.24)

Наведену методику визначення оцінки оптимальної ціни за критерієм оптимальності «максимум прибутку» можна використовувати при вивченні попиту з розподілом населення на групи за визначеними ознаками. На основі вищен викладоного можна зробити такі висновки:

Якщо попит не еластичний, то зміна ціни товару викликає зміну товарообігу в грошовому виразі в тому ж напрямку.

Якщо попит еластичний, то зміна ціни викликає зміну товарообігу в грошовому виразі в зворотному напрямку.

Якщо в критичній точці лінія регресії попиту переходить з нееластичної в еластичну, то при цьому значенні ціни товарообіг у грошовому виразі максимальний. Товари першої необхідності (хліб, цукор, масло, житло, газ та ін.) не еластичні, оскільки зі збільшенням ціни споживання цих товарів мало змінюється. Звідси випливає, що підвищення ціни на ці товари веде до збільшення товарообігу. Отже, ціни на товар першої необхідності повинні знаходитись під контролем держави і не можуть бути вільними.

Оцінка параметрів кривої Лаффера

В економічній політиці країни при стимулюванні сфери виробництва і розподілі національного прибутку важливу роль відіграє рівень податкової ставки.

Одне з важливих питань у податковій системі — розмір податкових ставок. Від ставки податків залежить обсяг податкових надходжень до бюджету країни.

Поставимо задачу - дослідити залежність між податковими ставками й обсягом податкових надходжень. Крива, що відбиває цю залежність, називається кривою Лаффера.

Нехай задано динамічний ряд з даними за певні періоди про розміри податкових ставок і відповідних їм податкових надходжень. Задамо регресію у вигляді:

(4.25)

де У - податкові надходження, Х - податкова ставка. Для оцінки параметрів цієї регресії про логарифмуємо наведену регресію:

(4.26)

Після заміни

(4.27)

отримаємо таку регресію:

(4.28)

За методом найменших квадратів знайдемо оцінки і відповідно оцінки вхідних параметрів:

(4.29)

Рис. 4.1. Крива залежності обсягу податкових надходжень від податкової ставки

(крива Лаффера)

Аналізуючи малюнок можна прокоментувати економічний зміст параметрів.

С - оцінка податкової ставки, при якій податкові надходження є максимальними і їх обсяг дорівнює значенню а.

Дата добавления: 2014-01-11