Устойчивость процессов в импульсных системах

Как отмечено в подразделе 1.5, замкнутая импульсная система характеризуется разностным уравнением (1.37) или передаточной функцией (1.36). Решение разностного уравнения всегда представимо в виде суммы свободной и вынужденной составляющих (1.41). На устойчивость процессов, протекающих в импульсной системе, или на устойчивость импульсной системы, влияет только поведение свободной составляющей. Дадим определения устойчивости, аналогичные определениям для непрерывных систем .

Если с течением времени при свободная составляющая затухает и стремится к нулю, т.е. , то система будет асимптотически устойчивой (далее просто устойчивой).

Если при неограниченно возрастает, т.е. , то система будет неустойчивой.

Наконец, если при не возрастает до бесконечности и не затухает до нуля, то система будет нейтральна или находится на границе устойчивости.

Устойчивость системы, как сейчас покажем, зависит от корней характеристического уравнения замкнутой системы

. (1.44)

Если уравнение (1.44) имеет простых (различных) корней , то свободная составляющая имеет следующий вид

, (1.45)

где - произвольные постоянные.

Из (1.45) нетрудно видеть, что если все – действительные величины и все модули , то при , т.е. система устойчива. Если какой-либо корень комплексный, т.е. , то его можно представить в виде ,, . В силу этого составляющая и при эта составляющая будет стремиться к нулю.

Рассмотренное выше можно распространить на случай произвольных корней уравнения (1.44) и сформулировать следующее условие: необходимым и достаточным условием устойчивости импульсной системы является выполнение условия

, , (1.46)

т.е. модули всех корней характеристического уравнения (1.44) должны быть меньше единицы.

Если , , то система нейтральна, а если существует хотя бы один корень, модуль которого больше единицы, то система неустойчива.

Для оценки устойчивости, нет необходимости находить корни уравнения (1.44). Разработаны специальные критерии устойчивости для импульсных систем, которые являются аналогами соответствующих критериев непрерывных систем. Существуют их две разновидности: алгебраические и частотные. Начнем рассмотрение с алгебраического критерия.

В уравнении (1.44) сделаем замену комплексной переменной на новую комплексную переменную по формуле

. (1.47)

Замена (47) аналогична (25), только множитель при опускается.

В результате замены от (1.44) придем к уравнению -ой степени относительно .

, (1.48)

Формулы, связывающие с приводятся в литературе [6].

Замена (1.47) обладает следующими свойствами:

-корням уравнения (1.44) однозначно соответствуют корней уравнения (1.48) и наоборот;

- корню уравнения (1.44), для которого , однозначно соответствует корень уравнения (1.48), который будет иметь отрицательную действительную часть, т.е. .

На основании вышесказанного, если все корни , то все корни будут с отрицательными действительными частями и наоборот. Таким образом, для оценки устойчивости импульсной системы можно применить критерий Гурвица, разработанный для непрерывных систем.

Для уравнения (1.48) составим матрицу Гурвица [1]

(1.49)

и введем главные (диагональные) определители этой матрицы

, ,.

Необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой импульсной системы будет выполнение неравенств

…,. (1.50)

Рассмотрим простейшие случаи. Пусть , тогда (1.44) будет: . Непосредственно находим корень уравнения . Условие устойчивости будет ,т.е. при .

Пусть , тогда (1.44) будет: . Замена (1.47) приведет к уравнению , где , , . По критерию Гурвица получим условие устойчивости

, , . (1.51)

Для условия устойчивости приведены в .

Рассмотрим для импульсных систем частотный критерий устойчивости Найквиста, аналог критерия Найквиста для непрерывных систем. Для оценки устойчивости импульсной замкнутой системы базовой структуры (рис. 1.3) будем использовать АФЧХ разомкнутой системы . Формулировка критериев Найквиста для импульсных систем аналогична формулировке для непрерывных систем. Приведем одну из формулировок для случая, когда передаточная функция разомкнутой системы не имеет полюсов, модули которых больше единицы, т.е. разомкнутая система устойчива или нейтральна. Итак, критерий Найквиста: замкнутая система будет устойчива, если годограф при изменении от 0 до не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами .

Исследовать устойчивость также можно по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы и . Формулировка вышеприведенного критерия Найквиста для логарифмических характеристик разомкнутой системы следующая: замкнутая импульсная система будет устойчивой, если до частоты среза фазовая характеристика не пересекает ось , либо пересекает ее четное количество раз. Аналогично непрерывным системам вводятся понятия запасов устойчивости замкнутой импульсной системы по модулю и по фазе . На рис. 1.7, например, показан случай устойчивой импульсной замкнутой системы и показаны запасы устойчивости , .

При исследовании импульсных систем одной из важнейших задач является задача, связанная с определением областей устойчивости и выбором параметров из условий устойчивости. Коэффициенты характеристического уравнения (1.44) зависят от параметров импульсной системы: коэффициента усиления, постоянных времени, периода дискретизации и т.п. При одних значениях этих параметров система будет устойчивой, при других - неустойчивой.

Совокупность параметров, при которых система будет устойчивой, определяет область устойчивости в пространстве исследуемых параметров, а граница этой области будет границей устойчивости. Если число исследуемых параметров равно единице или двум, то области устойчивости можно интерпретировать как интервал (или интервалы) в случае одного параметра и как некоторые области на плоскости двух параметров во втором случае. При этом возможно графическое построение областей устойчивости.

Для определения областей устойчивости можно воспользоваться любыми критериями устойчивости. В случае небольшого порядка системы удобно использовать критерий Гурвица для импульсных систем.

Пусть , -параметры системы, относительно которых определяется область устойчивости, тогда коэффициенты характеристического уравнения (1.44) и соответственно коэффициенты уравнения (1.48) зависят от . Таким образом, область устойчивости в пространстве параметров будет определяться неравенствами (1.50), где , а границы этой области определяются уравнениями

, ,…,. (1.52)

Пример 1.7. Пусть . Требуется исследовать устойчивость замкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой системы будет (см. пример 1.2) , где , , . Характеристическое уравнение замкнутой системы . Оно имеет единственный корень и из условия устойчивости получим

, . (1.53)

Неравенство (1.53) определяет собой область устойчивости для четырех параметров импульсной системы , , , . Так как , , то будем иметь

. (1.54)

Выражение (1.54) определяет при заданных и интервал (область устойчивости) изменения коэффициента усиления из условий устойчивости, где - граничное (максимальное) значение коэффициента усиления, при этом если , то замкнутая система устойчива, если , то неустойчива.

В частности, при (система с экстраполятором нулевого порядка) из (1.54) имеем

. (1.55)

На базе этого примера сделаем важный общий вывод, касающийся импульсных систем. Для непрерывной замкнутой системы с передаточной функцией условие устойчивости будет , т.е. при любом и любом сколь угодно большом система устойчива. Для импульсной системы увеличивать безгранично нельзя, система при станет неустойчивой. Итак, введение импульсного элемента в замкнутый контур САУ делает систему более критичной по отношению к устойчивости.

Анализ устойчивости данной системы можно провести и на базе частотного критерия Найквиста по полученным в примере 1.3 частотным характеристикам. Из рис.1.6 и формулы (1.26) следует, что при увеличении точка при будет смещаться влево по действительной оси и при каком-то значении годограф охватит точку и система станет неустойчивой. Это тоже следует из логарифмических частотных характеристик рис. 1.7. Если увеличивается , то увеличивается , ЛАЧХ поднимается вверх, сдвигается вправо, и и система при каком-то станет неустойчивой.

Пример 1.8. Пусть , что соответствует примеру 1.2. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид (1.22), а характеристическое уравнение замкнутой системы будет

,

где , , , , , , , ,.

Используя (1.51) получим условия устойчивости

, , .

Итак, задавая параметры системы , , , , , находим ,и проверяем по приведенным условиям устойчивость замкнутой системы.

Рассмотрим частный случай при , когда можно показать, что система трех неравенств сводится к двум:

,

, (1.56)

где .

Эти неравенства определяют область устойчивости системы в пространстве параметров , , , . Отсюда также видно, что величина ограничена сверху правой частью первого или второго неравенств.

Дата добавления: 2014-01-11