Теорема о взаимности реакций и перемещений

На рис. 6.14 показаны два состояния произвольной статически неопределимой системы (рамы). В первом состоянии (состоянии i) на раму действует обобщённая сила F_i = 1. Опорная связь j получает единичное перемещение во втором состоянии (состоянии j). Введём обозначения: r'_ji – реакция в j-й связи от обобщённой силы F_i = 1 в состоянии i, – перемещение по направлению обобщённой силы F_i = 1 от смещения связи j на единицу в состоянии j. За положительное направление перемещения примем перемещение, происходящее по направлению обобщённой силы F_i = 1, а за положительную реакцию r'_ji­ реакцию, направление которой совпадает с перемещением j-й связи.

Рис.6.14

Для состояний i и j используем теорему о взаимности возможных работ внешних сил (см. соотношение (6.3)).

.

Возможная работа W_ext,ji внешних сил состояния j на перемещениях, вызываемых внешними силами состояния i, равна нулю, так как в состоянии i перемещения по направлению опорных связей в том числе и по направлению связи j, отсутствуют, т.е.

W_ext,ji = 0.

В соответствии с выражением (6.3) W_ext,ij = W_ext,ji, поэтому

, или . (6.6)

Соотношение (6.6) является математической формулировкой теоремы о взаимности реакций и перемещений: реакция в j-й связи сооружения от обобщённой силы F_i = 1 с обратным знаком численно равна перемещению в направлении i-й обобщённой силы от смещения j-й связи на единицу (вторая теорема Рэлея).

При определении размерности величины r'_ji­ и необходимо учитывать их удельный характер, т.е. то обстоятельство, что они вызываются, соответственно, единичной обобщённой силой и единичным смещением связи.

Теорема о взаимности реакций и перемещений применяется в расчётах статически неопределимых систем смешанным методом.

Дата добавления: 2014-01-11