КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Закон больших чисел
Теорема о числовых характеристиках. 1. Если c – не случайное (детерминированная величина), то: а) M[c]=c б) D[c]=0
2. Если c - не случайная величина, а Х- случайная, то:
а. M[cx]= ∫(от -∞ до +∞)cxf(x)dx=c∫(от -∞ до +∞)xf(x)dx=cM[x]
3. Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математического ожидания аргументов.
MƩ(i=1 от n)ai*Xi+b=Ʃ(i=1 от n)ai*M[Xi]+b
Рассмотрим две СВ X и Y. Рассмотрим событие А=(a1<X<a2) и B=(b1<X<b2)
По определению СВ Х и Y называются независимыми, если вероятность произведения этих событий P(AB)=P(A)*P(B)
В общем случае, для зависимых СВ X и Y, равенство нарушается:
P(AB)=P(A)P(B|A)
На практике желательно знать степень их зависимости, связи друг с другом. Наиболее употребительными моментами связи являются корреляционные моменты ковариации
Определение: Корреляционным моментом или ковариацией СВ X и Y называют Kxy=cov(X,Y)=M[(x-mx)(y-my)]=M[ẊẎ] Очевидно Kxy=Kyx Можно показать, что для независимых СВ Kxy=cov(X,Y)=0 Величина ковариации зависит от единиц изменения СВ. В качестве меры стохастической связи между СВ обычно используют независящую от единиц измерения (безразмерную) СВ, называемую коэффициентом ковариации: Rxy=Kxy/ϛxϛy=cov(X,Y)/ ϛxϛy
Определение: X1, X2, …, Xn называются некоррелированными, если Kij=cov(xi,xj)=0 rij=Kij/ ϛiϛj=cov(xi,xj)/ϛiϛj=0
Обратное утверждение неверно. Если моменты ковариации равны нулю, то в общем случае СВ могут быть зависимыми.
1) Пусть имеется линейная функция нескольких случайных величин. Y=∑(i=1 от n) ai*Xi+b, где ai и b неслучайные величины, тогда дисперсия этой линейной функции выражается формулой. D[Y]=D[∑(i=1 от n) ai*Xi+b]=∑(i=1 от n) ai2*D[Xi]+2∑(i<j)aiajKij, Если Xi и Xj не коррелируемые, то D[Y]=∑(i=1 от n) ai2*D[Xi] Предельные теоремы теории вероятностей Закон больших чисел и центральная предельная теорема Под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.
Лекция 13 от 07.12.2011 Другаягруппа предельных теорем касается уже не предельных значений СВ, а предельных законов распределений. Эта группа теорем известна под названием «Центральной предельной теоремы».
Неравенство Чебышева: При доказательстве теорем, относящихся к группе «Закона больших чисел», используется одно весьма общее неравенство, известное, как Неравенство Чебышева. P[|x-mx|>=E]<=Dx/E²
mx-E mx mx+E x
Правило трех ϛ: Пусть E=3ϛx, тогда P[|x-mx|>=3ϛx]<=Dx/E²=ϛ²x/9 ϛ²x=1/9
Для реальных законов распределения, например нормального: P[|x-mx|>=3ϛx] На практике мы как правило имеем значение мы имеем дело со СВ, значение которых выходит за mx+-3 ϛx крайне редко, поэтому на практике этот отрезок считают участком практически возможных значений величины – так называемое «Правило трех ϛ»
Теорема Чебышева: Она дает одну из наиболее важных форм «Закона больших чисел», а именно: Устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием (МО). Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического. Теорема Чебышева: При достаточно большом числе n независимых опытов, среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее МО. (Понятия о сходимости по вероятности см. учебник) В аналитической форме Теорема Чебышева записывается:
P[|1/nƩ(от n до i=1) xi-mx|<E]>=1-δ
Следствие закона больших чисел – Теорема Бернулли. Теорема. При неограниченном увеличении числа опытов n, частота событий А сходится по вероятности к его вероятности р. Обозначим частоту события А в n опытах через Pn*. P[|Pn*-p|<E]>=1-δ
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 383; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |