КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определители третьего порядка
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число (7) Определитель третьего порядка обозначается символом , (8) где числа называются его элементами. Индексы и у элемента показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент. Например, элемент расположен на пересечении второй строки () и третьего столбца (). Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы - побочную диагональ. Определение 4.1 имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо: 1) вычислить с собственными знаками произведения элементов, лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали (рис.1); 2) найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками (рис.2); 3) найти общую сумму всех произведений.
ПРИМЕР 4.1. . Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (7). Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно, Аналогично проверяется справедливость и других свойств. Пусть дан определитель (8) третьего порядка. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Минором элемента , где определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца. Так, например, минор элемента есть определитель
, а минор элемента есть . С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Алгебраическим дополнением элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком . Согласно определению 4.3. имеем. , где . (10) Например, , и т.д.
ТЕОРЕМЕ 4.1. (Разложение определителя по элементам строки или столбца). Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств: (11) Проверим, например, справедливость равенства: . Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим ТЕОРЕМЕ 4.2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю. Для определенности выберем элементы первой строки и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений и покажем, что эта сумма равна нулю. Действительно, Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм. В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя. ПРИМЕР 4.2. Вычислить определитель . Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки. ПРИМЕР 4.3. Вычислить определитель . Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на -8, получим . Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем .
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n -го ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица А n -го порядка . Определитель n -го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом (12) и определяется как число
, (13) где есть миноры соответствующих элементов , т.е. определители (n -1)-го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго, …, n -го его столбцов. Например, . Так как каждый минор , где k =1,2,…, n есть определитель (n -1)-го порядка, то согласно (13) вычисление определителя n -го порядка сводится к вычислению n определителей (n -1)-го порядка. ПРИМЕР 5.1. Вычислить определитель . Решение. Согласно (13) получим Определители n -го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (13). Выберем в определителе D элемент , где . Минором элемента определителя n -го порядка называется определитель (n -1)-го порядка, полученный из D вычеркиванием его i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением элемента называется минор этого элемента, взятый с дополнительным знаком (-1) i+j, т.е. , где . (14) Для определителей n -го порядка также остается справедливой теореме разложения, т.е. определитель n -го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов. (15) Равенство (15) содержит 2 n формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя. На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов. ПРИМЕР 5.2. Вычислить определитель . Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, найдем , так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.
Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 660; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |