Задачи определения расстояния между двумя точками

ГЕОМЕТРИИ.

ПРОЙСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ

Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении.

Пусть в пространстве заданы своими координатами две точки и . Построим векторы (рис.19).

	x

Тогда

.

Согласно правилу (48)

.

Так как длина вектора равна расстоянию между точками и , то искомое расстояние найдется по формуле (43). Итак,

. (51)

Заметим, что в процессе решения этой задачи установлена формула определения вектора, если заданы координаты его начальной и конечной точек:

. (52)

Задача деления отрезка в данном отношении.

Пусть даны две точки и . Требуется на прямой (рис.20) найти точку , которая разделила бы отрезок в заданном отношении , т.е. так, что . Согласно формуле (52)

,

.

Тогда по правилу (49) равенство примет вид , , .

Определяя из этих равенств, получим

, , , (53)

где , .

	z

			y

Формулы (53) являются формулами деления отрезка в данном отношении. В частности, при получим формулы деления отрезка пополам:

, , . (54)

ПРИМЕР 17.1. Вершина треугольника имеет координаты . Найти длину медианы этого треугольника.

Решение. Точка делит отрезок пополам. Тогда, согласно (53), получим

, , .

Искомое расстояние найдем по формуле (51):

.

Дата добавления: 2014-01-11