Формула Остроградского – Гаусса

Приложение.

Пример

В качестве примера решения электростатических задач можно вычислить электрическое поле, создаваемое диэлектрическим шаром радиуса R, находящемся в однородном электрическом поле . Уравнения электростатики в диэлектрике (25) при =0 имеют вид:

, , (27)

Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению

(28)

причём = -, -. В однородном диэлектрике =const, поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа =0.

Граничное условие (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:

при r = R (29)

Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала

= (30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением , находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора также непрерывны.

Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .

Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал должен удовлетворять условию

при .

Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :

,

.

Здесь потенциал нормирован так, чтобы при . Так как , то из условия на бесконечности находим .

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем

=0 при (l =0),

при (l =1),

при (l >1).

Из этих уравнений находим

, .

Все остальные коэффициенты равны нуля, если .

Таким образом, решение задачи имеет вид:

(30)

Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:

(31)

(32)

где - объём сферы.

Первые два слагаемых в (31) и (32) представляют собой потенциал однородного внешнего поля, создаваемого внешними источниками. Вторые – это потенциал электрического поля, создаваемого электрическим шаром, поляризованным внешним полем. Вне сферы – это потенциал диполя с дипольным моментом . Внутри сферы поляризованный шар создаёт однородное электрическое поле с напряжённостью

(33)

Полная напряжённость внутри шара

(34)

Таким образом, электрическое поле внутри шара не зависят от радиуса шара и ослаблено на значение поля , которое называется деполяризующим полем. Возникновение деполяризующего поля есть частный случай явления экранировки внешнего поля связанными или свободными зарядами.

Пусть f (x, y, z) - некоторая функция, а S - замкнутая поверхность, ограничивающая объём V. На отрезке 1-2 (рис. 4), параллельном оси X, f - является функцией одного аргумента x. Интегрируя вдоль этого отрезка получим:

где и - значения функции f на концах рассматриваемого промежутка.

Построим теперь бесконечно узкий цилиндр, одной из образующих которого является отрезок 1 2. Пусть dσ - площадь поперечного сечения его (величина положительная). Умножая предыдущее соотношение на dσ. Так как dσdx есть элементарный объём dV, заштрихованный на рисунке, то в результате получится:

,

где dV – часть объёма V, вырезаемого из него поверхность цилиндра. Пусть dS ₁ и dS ₂ эле -ментарные площадки, вырезаемые тем же цилиндром на поверхности S, а ₁ и ₂ –

единичные нормали к ним, проведенные наружу от поверхности S. Тогда:

dσ = d _{2 2х} = - d _{1 1х},

а поэтому:

или короче: где поверхностный интеграл распространён на сумму площадок dS ₁ и dS ₂. Весь объём V можно разделить на элементарные цилиндры рассматриваемого вида и написать для каждого из них такие же соотношения. Суммируя эти соотношения, получим:

(35)

Интеграл справа распространён по всему объёму V, справа – по поверхности S, ограничивающей этот объём. Аналогичные соотношения можно написать для осей Y и Z.

Возьмём теперь произвольный вектор и применим к его компонентам соотношение (35). Получим:

и аналогично для компонент A _y и A _z. Складывая эти соотношения, найдём:

или:

Эту формулу Остроградского – Гаусса можно также записать в виде:

Смысл её заключается в том, что полный поток вектора через некоторую поверхность S равен суммарной алгебраической мощности источников, порождающих векторное поле.

Если объём V бесконечно мал, то величина divвнутри него может считаться постоянной. Вынося её за знак интеграла и переходя к пределу V → 0, получим:

Предельный переход надо понимать в том смысле, что область V должна стягиваться в точку, т.е. размеры этой области должны беспредельно уменьшаться по всем направлениям. Эти рассуждения показывают, что величина, стоящая в правой части вышеуказанной формулы, не зависит от формы поверхности S, стягиваемой в точку. Поэтому это выражение можно принять за исходную формулировку дивергенции. Такое определение обладает преимуществом, потому что оно инвариантно, т.е. никак не связано с выбором координат.

Дата добавления: 2014-01-11