Проводники в магнитном поле. Магнитное давление

С тем, что такое магнитное давление, мы уже познакомились в задаче 2 гл. 4. Напомним, что поле между проводящими плоскостями было равно Н = i, где i — линейная плотность поверхностного тока, а давление на каждую плоскость составляло

P = iB_BH = μ₀i²/2

Нетрудно сообразить, что такое же точно давление будет действовать на любую плоскую поверхность проводящего тела, если вне тела существует магнитное поле В, параллельное поверхности, а в самом теле В = 0. Действительно, величина г однозначно следует из теоремы о циркуляции, и все последующие соображения остаются в силе. Нужно только переписать формулу для давления на поверхность проводника, исходя из того, что задано

все-таки именно поле в вакууме:

P = μ₀H²/2 =B²/2μ₀ = (BH)/2

|Н (7.1)

Существенно, во-первых, то обстоятельство, что магнитное давление обусловлено «непроникновением» магнитного поля в проводник. Если последний пребывает в сверхпроводящем состоянии, это всегда верно, но и в обратном, гораздо более обыденном случае это совершенно реально. Как мы увидим далее (гл. 8), проникновение поля в проводящую среду — процесс не мгновенный, и чем выше проводимость, тем более он затянут во времени.

Во-вторых, при выводе формулы (7.1) мы использовали упрощенную геометрию: внешнее поле, параллельное плоской поверхности проводника. Это сужает круг явлений, которые мы могли бы обсуждать, либо создает опасность ошибок, проистекающих от расширительного толкования результата (7.1).

Прежде чем давать формальное описание сил, действующих в магнитном поле на проводящую среду, приведем чрезвычайно удобную форму для архимедовой силы, использующую операцию векторного дифференцирования.

Рассмотрим некоторую текучую среду, т. е. жидкость или газ, подчиняющуюся закону Паскаля, и выделим в ней малый объем — кубик со сторонами dx, dy, dz (рис. 7.1). Пусть мы можем пренебречь всеми объемными силами (силой тяжести и т. д.); принимаем во внимание только силу, связанную с неоднородностью давления, — а это и есть архимедова сила. Как было показано в гл. 9 курса механики, эффекты, обусловленные неоднородностью давления, удобно выводить из объемной плотности силы f = dF/dV:

U = -^ и т. д. =^ f = -VV. (7.2)

С силой в форме G.2) удобно работать; скажем, закон Архимеда можно мгновенно получить, уравновесив ею плотность силы тяжести pg. Нам же она понадобится для сравнения именно с плотностью силы Ампера, которую

мы предварительно перепишем следующим образом:

f = [ j B ] = -[ B [▼ H ]] = (B ▼) H -«▼(BH)».

Проводя формальные векторные операции с оператором дифференцирования ▼, следует заботиться о том, чтобы справа от него оставались лишь те величины, которые подлежат дифференцированию. Этому правилу не удовлетворяет последний член в правой части; чтобы подчеркнуть это, он заключен в кавычки.

Рus. 7.1

В стоящем справа от оператора скалярном произведении вектор В дифференцироваться не должен. Если, однако, связь между В и Н линейна — а это во всяком случае верно для всех диа- и пара- магнитных проводников,, то мы можем представить формулу для плотности силы Ампера в виде

(В Т-П f =-УЦ-^ + (ВУ)Н. (7.3)

/ А dz х У

Второй член в правой части (7.3) называется «максвелловским натяжением силовых линий» (формально он и в самом деле имеет вид упругой силы), что же касается первого, то он оказался абсолютно идентичен архимедовой силе (7.2), если в нее подставить давление в виде (7.1). Таким образом, формула (7.1) оказалась точной, но теперь мы должны сделать два важных замечания относительно границ ее применимости.

1. «Натяжение силовых линий» обусловлено их кривизной. Действительно, если силовые линии — прямые, то поле может меняться лишь поперек силовых линий, но не вдоль них, поэтому (В ▼) H = 0. Следовательно, мы можем свести силу Ампера к магнитному давлению, только когда имеем право пренебречь кривизной силовых линий. Это не значит, что они должны быть непременно прямыми — просто радиус их кривизны должен быть много больше толщины слоя, в котором магнитная индукция В меняется на

величину порядка ее самой. Вот пример ситуации, когда натяжением пренебречь нельзя: магнитное поле в проводнике установилось таким образом, что токи в нем не текут. Допустим, вне проводника проходит прямой провод с током, и поле в проводящей среде соответствует формуле (4.9). Из (7.1), казалось бы, следует, что в проводнике возникает некоторый перепад давлений, а значит, и силы. Но из формулы (4.6) следует, что при j = 0 должно быть и f = 0. Действительно, можно показать, что в этом случае два члена

в правой части G.3) в точности компенсируют друг друга.

2. Возможная причина недоразумений — независимость формул (7.1) и (7.3) от проводимости среды. На первый взгляд может показаться, что и на диэлектрик должно действовать точно такое же давление. В этой связи полезно напомнить, что при выводе (7.3) мы существенным образом воспользовались двумя предположениями: теоремой о циркуляции

rot Н = j

и линейной зависимостью В(Н). Как уже было замечено в гл. 4, теорема о циркуляции у нас пока не дописана; в нестационарном случае в правой части появится еще один член (и добавим, забегая вперед, — роль его будет тем важнее, чем ниже проводимость вещества). Таким образом, для настоящего диэлектрика наш вывод справедлив только при условии абсолютной стационарности задачи, и, поскольку тока проводимости в непроводящем

веществе просто не может быть, два члена в правой части (7.3) обязаны при этом точно друг друга компенсировать. Тем самым определяется класс допустимых магнитных конфигураций в линейном диэлектрике.

Положение дел меняется, если мы имеем дело с магнитоактивной средой (линейная зависимость В(Н) представляет не более, чем частный случай).

Тогда к силам Ампера, обязанным своей природой токам проводимости, добавятся силы, обусловленные намагниченностью образца. Это и будет темой последующего рассмотрения.

Дата добавления: 2014-01-11