Разностные уравнения первого порядка. Схема вычислительного эксперимента

Схема вычислительного эксперимента

Введение. Математическое моделирование и вычисленный эксперимент

В настоящее время при исследовании сложных объектов используются математические модели, которые реализуются численно с помощью ЭВМ. Такой метод исследования называется вычислительным экспериментом.

Схема вычислительного эксперимента показана на рис.1

Рис.1. Схема вычислительного эксперимента

Не всегда удается реализовать математическую модель аналитическими методами. Как правило, приходится прибегать к построению вычислительного алгоритма решения математической задачи. Именно на этом этапе требуется привлечение ЭВМ и, как следствие, развитие численных методов. Под численным методом здесь понимается такая интерпретация математической модели (дискретная модель), которая доступна для реализации на ЭВМ.

Например, если математическая модель представляет собой дифференциальное уравнение, то численным методом может быть аппроксимирующее его разностное уравнение совместно с алгоритмом, позволяющим отыскать решение этого разностного уравнения.

Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу для ЭВМ или воспользоваться готовой программой. После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализ результатов.

Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. Его основу составляет триада: модель‑метод (алгоритм)‑программа.

Предметом данного курса является изучение вопросов, отражающих лишь один из этапов вычислительного эксперимента, а именно этап построения и исследования численного метода

При переходе от математической модели к численному методу возникают погрешности, называемые погрешностями метода. Они связаны с тем, что всякий численный метод воспроизводит исходную математическую модель приближенно. Наиболее типичными погрешностями метода являются погрешность дискретизации и погрешность округления.

Обычно построение численного метода для заданной математической модели разбиваются на два этапа:

1. формулировка дискретной задачи;

2. разработка вычислительного алгоритма, позволяющего отыскать решение дискретной задачи.

Например, если исходная математическая модель сформулирована в виде системы дифференциальных уравнений, то для численного решения необходимо заменить ее системой конечного, может быть, очень большого числа линейных или разностных алгебраических уравнений. В этом случае говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи. Простейшим примеров дискретизации является построение разностной схемы путем замены дифференциальных выражений конечно-разностными отношениями. Ясно, что решение дискретизированной задачи отличается от исходной задачи. Разность соответствующих решений и называется погрешностью дискретизации. Обычно дискретная модель зависит от некоторого параметра (или множества параметров) дискретизации, при стремлении которого к нулю должна стремиться к нулю и погрешность дискретизации. При этом число алгебраических уравнений, составляющих дискретную модель, неограниченно возрастает. В случае разностных методов таким параметром является шаг сетки.

Итак, дискретная модель представляет собой систему большого числа алгебраических уравнений. Невозможно найти решение такой системы точно и в явном виде. Поэтому приходится использовать тот или иной численный алгоритм решения системы алгебраических уравнений. Входные данные этой системы, а именно коэффициенты и правые части, задаются в ЭВМ не точно, а с округлением. В процессе работы алгоритма погрешности округления обычно накапливаются, и в результате решение, полученное на ЭВМ, будет отличаться от точного решения дискретизированной задачи. Результирующая погрешность называется погрешностью округления (иногда ее называют вычислительной погрешностью). Величина этой погрешности определяется двумя факторами: точностью представления вещественных чисел в ЭВМ и чувствительностью данного алгоритма к погрешностям округления.

Алгоритм называется устойчивым, если в процессе его работы вычислительные погрешности возрастают незначительно, и неустойчивым – в противном случае. При использовании неустойчивых вычислительных алгоритмов накопление погрешностей округления приводит в процессе счета к переполнению арифметического устройства ЭВМ.

Итак, следует различать погрешности модели, метода и вычислительную. Какая из этих погрешностей является преобладающей? Ответ здесь неоднозначен. Типичной является ситуация, когда погрешность модели значительно превышает погрешность метода, а погрешностью округления в случае устойчивых алгоритмов можно пренебречь по сравнению с погрешностью метода

Предположим, что надо вычислить сумму

(1)

Вычисления обычно организуются следующим образом. Задается начальное значение и затем последовательно, начиная с , находятся числа , связанные рекуррентным соотношением

, , . (2)

Для численного произведения

(3)

достаточно задать начальное значение и воспользоваться рекуррентными соотношениями

, , . (4)

Уравнения (2) и (4) являются частными случаями линейного разностного уравнения первого порядка.

, , (5)

где заданные числа, искомые числа. Для уравнения (5) рассматривается задача с начальными условиями или задача Коши, которая состоит в отыскании всех , , при заданном начальном значении. Ясно, что решение задачи Коши для уравнения (5) существует и единственно.

Запишем решение уравнения (5) в явном виде. Подставляя в (5) вместо выражение

,

получим

.

Теперь можно подставить сюда выражение для и т.д. В результате получим формулу (доказать)

, . , (6)

где

(7)

Строго доказать формулу (6) можно индукцией по числу при каждом фиксированном . Нам потребуется формула (6) при , т.е.

, . , (8)

где, согласно (7)

(9)

В частности, если (5) является уравнением с постоянными коэффициентами, т.е. для всех , то из (8) получим

, . (10)

Явную формулу (8) можно использовать для получения оценок решения через начальные данные , заданные коэффициенты и правые части .

Лемма 1. Если для некоторого выполнены неравенства

, , (11)

то для решения уравнения (5) справедливы оценки

, . (12)

Доказательство. Из (9) и (11) получаем, что

, .

Отсюда и из (8) следуют оценки (12).

Дата добавления: 2014-01-11