Определение критической силы центрально сжатого стержня при упругой потере устойчивости

Устойчивость центрально сжатого стержня – это способность его сохранять начальную прямолинейную форму равновесия при действии продольных центрально сжимающих сил.

Центрально сжимающая продольная сила, малейшее превышение которой приводит к потере устойчивости стержня, называется критической силой.

При определении критической силы для стержней большой гибкости, теряющих устойчивость при напряжениях до предела пропорциональности материала, используется дифференциальное уравнение оси изогнутого стержня

,

где E∙I_x – параметр жесткости изгибаемого элемента конструкции (единицы измерения – Н∙м², кН∙м² и т.п.).

Однородное дифференциальное уравнение, описывающее продольный изгиб шарнирно опертого центрально сжатого стержня силой F,

, где .

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения

,

где произвольные постоянные с₁ и с₂ определяются из граничных условий: в частности, при z = 0 прогиб v = 0 и с₁ = 0, что позволяет упростить уравнение оси изогнутого стержня

.

Наименьшее значение критической силы центрально сжатого стержня длиной l с двумя шарнирно закрепленными концами (формула Эйлера)

.

Значение критической силы центрально сжатого стержня длиной l с произвольно закрепленными концами (обобщение формулы Эйлера)

,

где μ – коэффициент приведенной длины, которым учитывается характер закрепления стержня (например, при шарнирно закрепленных концах стержня μ = 1; при одном свободном конце, а другом жестко заделанном конце стержня μ = 2; при одном шарнирно закрепленном конце, а другом жестко заделанном конце стержня μ = 0,7; для других закреплений стержня значения μ можно найти в справочниках по сопротивлению материалов).

Параметр гибкости (или просто гибкость) стержня

,

где – радиус инерции поперечного сечения стержня;

I – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня (меньшее из двух значений I_х или I_у).

Критическое напряжение при упругой потере устойчивости стержня при напряжениях, меньших (или равных) предела пропорциональности σ_пц материала (вариант формулы Эйлера):

.

Формулами Эйлера можно пользоваться только для стержней большой гибкости при значениях λ ≥λ_о, где

.

Например, для стали 3 λ_о≈ 100.

Дата добавления: 2014-01-11