Вычисление длин дуг плоских кривых

Формула для нахождения длина дуги кривой получается суммированием длин элементарных дуг. Длина элементарной дуги в декартовых координатах может быть найдена по формуле Пифагора (рис. а) .

*. Если кривая задана явно , то ;

*. Если же кривая задана явно , то ;

*. Для кривой, заданной параметрически, , получим .

*. В полярной системе координат (рис. б) . В различных частных случаях:

.

И, наконец, формула для нахождения длины дуги кривой, записанная через криволинейный интеграл: . Эта формула, с учетом способа задания кривой, может быть переписана с помощью интеграла Римана, например: .

Пример: Найти площадь и длину дуги эллипса с полуосями а и b.

Зададим эллипс параметрическим уравнением: . Тогда

Дата добавления: 2014-01-11