Разложение sin x и cos x в бесконечное произведение

Запишем формулу Муавра и возьмём мнимую часть от правой и левой части равенства:

= = …

Отметим что при четных слагаемые в сумме вещественны и, следовательно, нас не интересуют, а при нечетных слагаемые чисто мнимые и, поэтому, положив , продолжим выкладку: … = =

= = .

т.е. .

Разложив , где –корни полинома , и отметив что, если , то z -корень Þ, k = 1,2,…, n. Константа . Учитывая, что делаем заключение: .

Положим и тогда, при фиксированном k:

Тогда:

= .

Чтобы рассмотреть вспомним неравенство .

Тогда: и .

Следовательно: = .

Таким образом: (*)

Бесконечное произведение сходится, ибо сходится ряд . (Здесь выбрано так, чтобы ). Поэтому остаточное произведение должно стремиться к единице при . Очевидно, мы лишь усилим неравенство (*), если напишем: .

Переходя к пределу при и при фиксированном , получаем: . И, следовательно, . Мы приходим к разложению в бесконечное произведение, впервые полученное Эйлером: .

Учитывая, что и используя полученное разложение в бесконечное произведение, можем получить разложение в бесконечное произведение.

В самом деле:

.

Тоже самое разложение можно получить и записав , а положив в разложении , получим формулу Валлиса: =

.

Дата добавления: 2014-01-11