Свойства кратных интегралов

1°. Линейность: Множество R_M функций интегрируемых на множестве М – линейное

пространство, а – линейный функционал.

.

2°. Условие нормировки: . Другая форма записи по сути дела определяет меру произвольного множества из евклидового пространства.

3°. Если интеграл по множеству Лебеговой меры ноль существует, то он

равен нулю.

Примечание: Множество М называется множеством Лебеговой меры ноль,

если такие, что и .

4°. а. ; б. ;

в. если и – отделена от нуля на М, то

5°. и f = g п.в. (почти всюду) на М, то .

6°. Аддитивность: Если и то

,

В общем случае: .

Δ. Следует из равенства: ▲

7°. Монотонность: и то .

8°. Интегрирование неравенств: если и то

.

9°. Пусть . Для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы существовала внутренняя точка множества М, в которой f (x) > 0 и непрерывна.

10°. Интегрируемость модуля интегрируемой функции: .

11°. Теорема о среднем: , на М сохраняет знак и , то

.

Если множество М – связно и f (x) – непрерывна на то такое, что .

12°. Для того чтобы интеграл от неотрицательной функции был равен 0

необходимо и достаточно, чтобы f (x) = 0 почти всюду на М.

13°. Теорема Фубини. Для двойного интеграла:

Пусть область – прямоугольник: . Тогда, при условии существования внутренних однократных интегралов, для нахождения двойного интеграла можно перейти к повторному интегрированию (см. рис. а):

, или

.

Если область интегрирования не прямоугольник, теорема Фубини все равно справедлива и имеет вид (см. рис. б): . (*)

Примечание: Внешние пределы интегрирования должны быть константами, внутренние пределы интегрирования могут зависеть от переменной, по которой интегрирование ещё предстоит.

Формула (*) может быть получена с использованием характеристической функции множества D.

Для многократного интеграла:

Пусть и некоторые подмножества евклидовых пространств и . Определим декартово произведение этих множеств, являющееся подмножеством евклидового пространства : .

Тогда теорема Фубини для имеет вид: .

Теорема справедлива и для брусов X и Y, и для более сложных конфигураций.

Примеры:

1⁰. Вычислить , если граница области задана уравнениями:

. Находя точки пересечения кривых определяющих границу области, получаем две точки: и . Тогда возможная расстановка пределов интегрирования при переходе к повторным интегралам дает:

а). ;

б). .

2⁰. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: .

–

.

Рецепт: При расстановке пределов интегрирования в двойном интеграле рекомендуется начинать с внешних пределов интегрирования.

3⁰. Вычислить:, если

Переход к повторным интегралам даёт: .

При этом, в тройном интеграле расстановку пределов надо начинать с внутренних пределов интегрирования. Затем спроецировать область V на плоскость xOy

расставив пределы в области D – лежащей в плоскости xOy.

4⁰. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле: .

а). ;

б). .

Дата добавления: 2014-01-11