Определение последовательности и её предела

Опр. 4.3.1. Последовательностью называется любой счётный набор действительных чисел а ₁, а ₂, а ₃,…, а_n,….

Примеры:

1). 1, 1, 1,…,1,…; аn =1, n Î N;	3). ; n Î N;
2). ; аn =, n Î N;	4).

Обозначать последовательность мы будем либо перечислением её членов, как в приведённых примерах, либо более краткой записью , либо просто . Так как множество счётно, его члены могут быть пронумерованы, нижний индекс как раз и обозначает номер члена последовательности. В терминах функциональной зависимости последовательность можно определить как функцию натурального аргумента n, поэтому для последовательности имеют смысл введённые выше опр.4.1.3 -4.1.11, описывающие её свойства.

Далее символом N будет обозначаться не множество натуральных чисел, а некоторый элемент этого множества, т.е. просто некоторое натуральное число.

Опр. 4.3.2. Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует такое натуральное число N (зависящее от e), что для членов последовательности с номерами n > N выполняется неравенство | a_n - a |<e.

Обозначения: ; ; при .

Если при , то говорят также, что последовательность сходится к числу а.

Краткая форма записи определения: .

Неравенство | a_n - a |<e эквивалентно двустороннему неравенству -e< a_n - a <e или a -e< a_n < a +e. Таким образом, смысл неравенства | a_n - a |<e заключается в том, что для "e>0 мы можем найти такое N, что все точки a_n с номерами индексов n > N лежат внутри интервала U _e(a) =

(a -e, a +e), т.е. вне этого интервала лежит не более чем конечное число точек последовательности. Докажем, например, что последовательность при сходится к двум. Возьмём "e>0. Требуется доказать, что существует такое N = N (e), что при n > N выполняется неравенство | a_n - a |<e, т.е. . Таким образом, если в качестве N = N (e) мы возьмём N (e)=(где Е(х)-определённая выше функция - целая часть числа х), то при n > N выполняется неравенство , что и требовалось. Расположение нескольких первых членов последовательности на числовой оси приведено на рисунке снизу. Сходимость последовательности к числу 2 выражается в том, что члены последовательности сгущаются около точки х =2.

Дата добавления: 2014-01-11