Оценивание сумм значений монотонных функций

Предложение В.1. Пусть f — неубывающая или невозрастающая непрерывная на отрезке [n ₀, n ₁ ] функция, n ₀ ,n₁&Ъ. Тогда

f (x) dx + f (n ₀)sS ] n ₁ ] f (k)sS f (x) dx + f (n ₁) (B.l)

n0

k=n₀

в случае неубывающей f и

f (x) dx + f(n ₁) i* ^] f (k)^ f(x)dx + f(n₀) (B.2)

в случае невозрастающей f.

Доказательство. Пусть f — неубывающая функция. Рис. 26 по­казывает, что V f (k) s= _n 1 f (x) dx (значение V f (k) равно сумме

n₀

Рис. 26. V (k) ^ _n n 1 f(x) dx.

*—i f

Оценивание сумм значений монотонных функций

площадей выделенных прямоугольников с вертикальными сторона­ми /(п₀),/(п₀ + 1),...,/(п1 - 1)). Соответственно, рис. 27 показывает,

Рис. 27. Y /(fc) > f1 f(x) dx.

*—* ^J Jin

k=n₀+1

что V /(fc)Ss Г1 f(x)dx (значение V f (fc) равно сумме пло-

k=n₀+1 k=n₀+1

щадей выделенных прямоугольников с вертикальными сторонами
/(п0 + 1),/(п₀ + 2),.../(п₁)). Это дает нам (B.1). Неравенства (B.2)
доказываются аналогично. □

Рассмотрим некоторые примеры. Функция Ух не убывает на пра­вой полуоси. Имеем

Дата добавления: 2014-01-11