Части множества называются объектами или элементами множества M

Множество M — это любое объединение в одно целое (перечисление) вполне различаемых частей (предметов, явлений и т.п.).

Обозначение множества M = {m₁, m₂, m₃, …} или M = {m_i: i Î I}.

Полагаем, что задано семейство объектов системы:

где Vi - объект системы; I - множество индексов.

Систему мы определим как некоторое отношение на собственном подмножестве декартова произведения xV

(1)

все элементы (объекты) этого декартова произведения мы будем называть объектами системы S, а само множество S системным множеством или системой.

В кибернетике наибольший интерес представляют системы с дву­мя объектами — входным объектом X и выходным объектом Y (система вход-выход или черный ящик):

₍₂₎

Основными причинами определения системы как теоретико-множественного отношения являются следующие:

1. Система определяется в терминах ее наблюдаемых свойств или, точнее говоря, в терминах взаимосвязей между этими свой­ствами, а не тем, что они на самом деле собой представляют (т. е. не с помощью физических, химических, биологических, социа­льных или других явлений). Это вполне согласуется с природой системных исследований, направленных на выяснение организа­ции и взаимосвязи элементов системы, а не на изучение конкрет­ных механизмов в системе.

2. Определение системы как отношения вида (1) является предельно общим. Конечно, различным системам отвечают и различные способы задания описания (дифференциальные урав­нения, булева алгебра, графы и т. д.), но все они есть не более чем отношения вида (1). В условиях предельно нечеткой инфор­мации, когда систему удается описать лишь качественно, все словесные утверждения в силу их лингвистических функций определяют отношения типа (1). Действительно, каждое высказыва­ние содержит две основные лингвистические категории: термы (денотаты) и функторы. Напомним, что термы используются для обозначения объектов, а функторы — для обозначения отноше­ния между ними. И для каждого правильного множества словес­ных утверждений существует отношение (в математическом смы­сле слова), описывающее формальную взаимосвязь между объектами. Таким образом, система всегда является отношением в смысле (1), а уже более узкие классы систем определяются более точно своими специфическими средствами.

3. Системы часто задаются с помощью некоторых уравнений относительно соответствующих переменных. Каждой такой пере­менной можно поставить в соответствие некоторый объект систе­мы, описывающей область значений соответствующей перемен­ной. Утверждая, что система описывается системой уравнений относительно некоторого множества переменных, в сущности считают, что система есть отношение над соответствующими объектами, порожденными этими переменными (по одному объекту на каждую переменную, область значений которой он представляет). При этом любая комбинация элементов этих объектов, принадлежащая этому отношению, удовлетворяет ис­ходной системе уравнений.

Система объекта

Объектом является часть реального мира, которая выделяется и воспринимается как единое целое в течение длительного времени. Объект может быть материальным и абстрактным, естественным и искусственным. Реально объект обладает бесконечным набором свойств различной природы. Практически взаимодействие осуществляется с ограниченным множеством свойств, лежащих в приделах возможности их восприятия и необходимости для цели познания. Система объекта задаётся на множестве отобранных для наблюдения свойств. Процедура задания системы включает ряд операций: назначение переменных, параметров и канала наблюдения.

Каждому свойству объекта назначается переменная, с помощью которой суммируется изменение проявлений свойства. Множеству наблюдаемых проявлений свойства ставится в соответствие множество значений переменной.

Процедура наблюдения свойств объекта включает базу и канал наблюдения.

Под базой наблюдения понимается признаки различения одного проявления свойства от другого. Типовыми базами являются время, пространство, группа и их комбинации. Операционное выражение базы будем познавать параметром наблюдения.

Операцию назначения значению параметра значения переменной назовём каналом наблюдения. В этом смысле необходимо различать чёткий и нечёткий канал наблюдения. Чёткий канал назначает одному значению параметра одно значение переменной. В этом случае система задаётся на чётком множестве значений переменных. В нечётком канале наблюдения не существует однозначного решения о том, какое значение переменной назначить определённому значению параметра. Поэтому система задаётся в виде нечётких множеств состояний переменных.

Формально система может быть представлена в виде множества

S=(X, T, R, Z) ₍₃₎,

где X- множество переменных;

T- множество параметров;

R-отношения на множества X и T;

Z-цель исследований.

Отношения между переменными и параметрами здесь понимаются в самом широком смысле, включая как ограничение, сцепление, соединение и т.д.

Структура системы.

Под структурой системы понимается устойчивое множество отношений, которое сохраняется длительное время неизменным, по крайней мере, в течение интервала наблюдения. Структура системы опережает определенный уровень сложности по составу отношений на множестве переменных и их значений или, что эквивалентно, уровень разнообразий проявлений объекта.

Формально структура представляет упорядоченности переменных и их значений по некоторому заданному относительно цели фактору. Физически (если такая интерпретация возможна) структура представляет аналитические и функциональные связи между элементами системы.

Полное множество состояний системы

В системе, заданной на множестве переменных X={X_n, i =}, каждая переменная изменяет свое значение в некоторой области значений заданной множеством физически различных значений X_n ={X_n,k, k=}.Зафиксированное значение всех переменных относительно одного значения параметра представляет вектор состояния системы

C_i =< α₁,k₁, X₂,k₂,…, X_N, k_N >

Множество всех возможных векторов состояний C={C_i, i =}, образует полное множество состояний, где │C│ =k_n

Реально состояние системы не равнозначны. Одни более, другие менее предпочтительны, другие запрещены. Это обстоятельство задается в виде функции ограничения.

Функция ограничения на полном множестве состояния

Состояние системы на полном множестве состояний неравнозначны. Одни состояние более другие менее предпочтительны, третьи практически не осуществлены. Неравнозначность состояния задается в виде функции ограничения. В общем случае она представляет собой отображение полного множества состояний:

f₀: C ® P

где Р – заданное множество

Предположим, что на множестве интервалов наблюдений объекта для функции ограничения справедливо условие:

f₀ = 1, если с Ì Ĉ

0, если с Ï Ĉ

где с – вектор состояния системы

ĈÎС - подмножество полного множества состояний.

В этом случае функция ограничения образует замкнутое множество состояний Ĉ. Такие системы будем называть замкнутыми. В обратном случае, когда от интервала к интервалу наблюдения состав элементов Ĉ меняется, т.е. функция ограничена для интервалов наблюдений, f₀ⁱ ≢ f₀^j не множественны, то система будет разомкнутой.

Рассмотрим отображение в интервале наблюдения Т множества моментов времени измерений примененных на множестве наблюдаемых состояний Ĉ.

f₀: Ĉ ® Т

Т ® Ĉ

Здесь возможны два случая. В одном отображение однозначно, в другим- многозначно.

В случае однозначного отображения, т.е. когда одному значению времени соответствует только одно состояние системы, последняя будет детерминированной. Если отображение многозначно, т.е. одному значению времени допускается два и более состояний, то система будет стохастической.

Для детерминированной системы функция ограничения имеет вид:

f₀ = 1, если при t = t_i, C = C_i

0, если при t =t_i, C ¹ C_i

У стохастической системы в момент наблюдения t = ti состояние системы ĈÎC является случайным. Ограничение полного множества состояний системы в этом случае задается нечеткими функциями типа вероятности, возможности, правдоподобности и др. В общем случае они представляют отображения вида:

f₀: ½С½® [0,1]

При выборе функции ограничения исходят из соотношения мощности полного множества состояний ½С½ и мощности множества моментов наблюдения ½Т½. Если ½С½≤½Т ½, то предпочтительной является функция вероятности. В обратном случае ½С½>½Т½, предпочтительней функция возможностей.

Мощность или кардинальное число множества M - количество элементов в множестве M.

Функция вероятности задается в следующем виде:

Р = {Р _t, t = }

Где Р_{t <} =

N_k – число наблюдаемых состояний С_k.

½Т ½= Σ N_k – общее число наблюдений.

Функция возможности определяется следующим образом:

W = {W_k, k = 1,k}

Где W_k =

i Î ½С ½

Из приведенных формул видно, что в первом случае наблюденное число состояний системы С_k нормируется относительно общего числа наблюдения ½Т½, во втором относительное число состояний с наибольшим значением.

Мера нечеткости множества состояний системы.

У стохастических систем полное множество состояния с позиции их допустимости представляет собой нечеткое множество.

При этом уровень нечеткости может меняться в значительных приделах. Например, если вероятности состояний P(C_i) = P(C_j) равны, то он максимальный, а при уровне P(C_i)=1 он минимален. Поэтому естественно надо ввести меру нечеткости полного множества состояний уровня нечеткости.

Для вероятностных систем нечетность задается через множество вероятностей состояния системы в виде отображения

H: P ® [0, ¥]

В качестве меры уровня нечеткости принята энтропия. Она определяется по формуле:

H = - p (C_i) log p (C_i)

Из этой формулы видно, что если p (C_i)=1, то Н = 0, при p (C_i)=1/ |C| H=log₂|C|.

Таким образом, величина энтропии монотонно меняется в пределах:

0 ⋜ Н ⋜ log₂ ½C½

Для вероятностных систем аналогично нечеткость вводится через множество возможностей. А мера уровня нечеткости через вероятностную энтропию.

Рассмотрим систему на множестве интервалов наблюдения Т₁, Т₂, Т₃, …. В этом случае возможно, что от интервала наблюдения H_i=H_j, уменьшает H₁>H₂>H₃… или возрастает Н₁<H₂<H₃…. В зависимости от характера интервалов энтропии на множестве интервалов наблюдения различают системы:

- закрытые, если Н₁<H₂<H₃<…

- открытые, если Н₁⋝H₂⋝H₃⋝…

Системная сложность

Системная сложность рассматривается как условие для системных задач в виде предпочтения на множестве вариантов систем объекта. Мера системной сложности в этом смысле представляет размерность варианта задачи, по которой определяется временная и пространственная функция сложности алгоритма решения задачи, придел практической разрешимости задачи.

Разработаны два основных принципа оценки сложности. В основе первого лежит оценка объекта информации необходимой для описания системы объекта. В основе второго- объекта информации необходимой для разрешения нечеткости (неопределенности) системы.

Описание аддитивной или иначе дескриптивной сложности сводится к оценке числа элементов системы, их состояний и отношений между ними. Информация необходимая для списания этой модификации сложности понимается в синтаксическом смысле. Поэтому эту модификацию иначе называют дескриптивная сложность.

Дескриптивная мера сложности обеспечивает потребности решение системных задач, объектом которых являются детерменированные системы. Однако в классе недертеминированных систем эта мера сложности уже неприемлема, так как она не позволяет учесть сложность, которую вносит нечеткость стохастической системы. В этом случае необходимо использовать другой принцип оценки сложности в виде объема информации необходимого для разрешения нечеткости полного множества состояний. Здесь также имеется в виду синтаксическая информация. Однако оценка ее объекта основывается на мерах нечеткости. Сложность систем с этой позиции изучалась с разных сторон. Однако наиболее конструктивными представляются результаты, полученные в теории информации.

В теории информации достаточно хорошо разработан механизм оценки сложности вероятностных систем на основе статистической меры количества информации предложенной К.Шенноном. Здесь за количество информации необходимого для описания системы принимается величина равная энтропии системы. Рассмотрим ряд важных энтропийных оценок сложности на принципе решения задач.

1.Пусть система S содержит N переменных, каждая переменная имеет К состояний, и пусть все состояния системы равновероятны. У такой системы мощность полного множества состояний равна |C|= K^N, вероятностная функция ограничений имеет вид P={ P_i=P_j=1/K^N}. В этом случае энтропия будет равна

H=N·log K

Нетрудно видеть следующее. Для систем S(N₁,K) и S(N₂,K), если N₁>N₂, то H₁>H₂, для системы S(N₁+N₂,K), H=H₁+H₂.Для систем S(N,K₂), если K₁>K₂, то H₁>H₂.

Из этого следует, что энтропийная мера сложности обладает всеми свойствами дискриптивной сложности.

2.Пусть даны системы S₁,S₂,S₃, состоящие из одной переменной с двумя состояниями, т.е. К=1, N=2. Вероятностные функции ограничения полного множества состояний соответственно имеют вид P₁=(P₁=0,2, P₂=0,2), P₂=(P₁=0,5, P₂=0,5), P₃=(P₂=0,7, P₂=0,3).

Методы упрощения систем.

В ходе решения системных задач по разным причинам могут возникать потребности упрощения системы. Такими причинами являются сложность физической интерпретации результатов решения задачи, малый объем наблюдений или недостаточные вычислительные и временные ресурсы.

Известно два основных подхода к упрощению систем: сокращение множества переменных и объединение состояний системы в классы эквивалентности.

В общем виде задача упрощения состоит в следующем. Для системы заданной на множестве переменных X с полным множеством состояний С необходимо найти вариант упрощенной системы на подмножестве переменных X' Ì X или подмножестве состояний C' Ì C.

Рассмотрим систему из трех переменных X₁, X₂, X₃. Варианты упрощения системы путем исключения переменных приведены на рис.

X₁ X₂ X₃

X₁ X₂ X₁ X₃ X₂ X₃

X₁ X₂ X₃

Целью упрощения является смещение уровня сложности системы при сохранении минимума нечеткости. Оба эти условия противоречивы. Поэтому выбор подходящего варианта необходимо производить по близости функций ограничения на полном множестве состояний исходной и упрощенной систем.

Рассмотрим функцию ограничения упрощенной системы. Пусть Х и X₁ÌX^', f и f ^' соответственно множество переменных и функции ограничения на множестве состояний исходной и упрощенной системы. Полное множество состояний С' упрощенной системы есть проекция вида

C' = Пр_X^' ·C

Поэтому функция ограничения f ^' также является проекцией

f'= Пр_Х · f

Рассмотрим пример. Пусть дана система на множестве переменных X₁, X₂, X₃, X₄.В таблице приведено полное множество состояний и значение функций ограничения. Выберем вариант упрощения (Х₁ Х₂ Х₃ Х₄)→(Х₁ Х₂).У упрощенной системы состояние С^'₁ включает состояния С₁, C₂, C₃ исходной системы, состояние С^'₂ состояния С₄, C₅, C^'₃ состояния С₆, C₇, C₈.

Табл. 1 Табл. 2

Ci	X1	X2	X3	X4	fi		C^'	X1	X2	f^'i
					0,2				0,2+0,2+0,1=0,5
					0,2				0,1+0,1=0,2
					0,1				0,1+0,1+0,1=0,3
					0,1
					0,1
					0,1
					0,1
					0,1

Полное множество состояний упрощенной системы и значение функции ограничения приведены в табл. 2.

Структурированная система

Структурирование системы заданной на множестве переменных Х представляет собой разделение исходного множества переменных на подмножества Xi Ì X. Подмножество структурированной системы будет называть подсистемами структурированной системы.

Подмножество структурированной системы должны удовлетворять следующим условиям.

1. Все подмножества задаются на одном параметрическом множестве.

2. Каждое подмножество Хⁱ имеет общие переменные хотя бы с одним подмножеством т.е. справедливо следующее

X¹ ∩ (X² È X³ È ¼ X^m) ¹ Ø

X² ∩ (X¹ È X³ È ¼ X^m) ¹ Ø

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

X^m ∩ (X¹ È X² ȼ X^m-1) ¹ Ø

Имеет ряд причин требующих представления системы в виде структурированной. Во-первых нередко формирование системы происходит на множествах наблюдений полученных в разное время и в разных местах. Во-вторых должным образом обоснованная структурированная система может выявлять свойства, которые в явном виде не проявляются в исходной системы. В-третьих высокий уровень сложности системы может потребовать исследования системы по частям. Отсюда вытекают две возможные задачи:

1. Заданы системы на множество X¹, X², X³,…. Требуется сформировать структурированную систему и найти соответствующую исходную систему на множестве X = X¹ È X² È X³ È …

2. Задана система. Требуется найти структурированную систему, которая выявляет равные свойства.

Любая система может иметь множество соответствующих ей структурированных систем.

Пример. Задана система на множестве X = (X₁, X₂, X₃). Соответствующие ей варианты структурированных систем приведены на рис.

1 X₁X₂X₃

1 X₁X₂ X₂X₃ X₁X₃

3 X₁X₃ X₂X₃ 4 X₁X₂ X₂X₃ 5 X₁X₂ X₁X₃

6 X₂X₃ X₁ 7 X₁X₃ X₂ 8 X₁X₂ X₃

9 X₁ X₂ X₃

В этом множестве вариантов как видно не все удовлетворяют условиям структуризации (6,7,8,9).

Поэтому очевидно, что возникает вопрос, какой вариант структуризации наилучшим образом представляет заданную систему. Здесь возможны различные подходы. В самом общем виде условие выбора варианта можно сформулировать так. Лучшим вариантом структурированной системы является тот, который использует всю информацию исходной системы и не содержит ни какой другой.

Для систем, у которых определена функция поведения, это условие можно определить как принцип максимума нечетности. Конкретно для систем с вероятностной функцией поведение это принцип максимума энтропии т.е. лучший вариант структурированной системы обладает наибольшей величиной нечеткости или энтропии.

Однако в практических задачах нередко условие может потребовать минимизировать ошибку выбора варианта структуризации. Это условие можно сформулировать, как принцип минимального риска. В его основе лежит сравнение вариантов структуризации по близости функций поведения исходной и структурированной системы.

Для построения теории систем на теоретико-множественном уровне, исходя из определения (1), необходимо наделить систе­му как отношение некоторой дополнительной структурой. Это можно сделать двумя способами:

1. ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы; например, рассматривать сам элемент v_j,ОV_i как некото­рое множество с подходящей структурой;

2. ввести структуру непосредственно для самих объектов систе­мы V_iОV.

Первый способ приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраических систем.

Временные системы

Если элементы v_j одного из объектов системы V_i (v_j Î V_i) функции, например v:T_v®A_v, то такой объект называется функциональным. Интерес представляет случай, когда каждая функция v Î V является отображением T в A, v:T®A. В этом случае T называют индексирующим множеством для V, а A — алфавитом объекта V. Если индексирующее множество линейно упорядочено, то его называют множеством моментов времени (ММВ). Такое индексирующее множество улавливает минимальные свойства, необходимые для построения понятия времени.

Функции, определенные на подобных линейно упорядоченных множествах — (абстрактные) функции времени. Объект, элементами которого являются функции времени, называют временным объектом, а системы, определенные на временных объектах — временными системами.

Особый интерес представляют системы, у которых элементы и входного и выходного объектов определе­ны на одном и том же множестве: ХМА^T и YМB^T. В этом случае под системой понимается отношение

Алгебраические системы.

Другой путь наделения объектов системы математическими структурами состоит в определении одной или нескольких операций, относительно которых V стано­вится алгеброй. В самом простейшем случае определяется бинар­ная операция R: V*V®V и предполагается, что в V можно выделить такое подмножество W, зачастую конечное, что любой элемент vОV можно получить в результате применения операции R к элементам из W или к элементам, уже построенным из элементов множества Неподобным образом. В этом случае W на­зывают множеством производящих элементов или алфавитом объекта, а его элементы — символами, а элементы объекта V — словами. Если R есть операция сочленения, то слова — это просто последовательности элементов алфавита W.

Алгебра — множество с некоторыми конечноместными операциями. Линейная алгебра — множество с одной внутренней (+) и одной внешней (*) операциями, удовлетворяющими аксиомам векторного пространства.

Необходимо иметь в виду, что алфавит временного объекта — это не совсем то же самое, что алфавит алгебраичес­кого объекта. Для объектов с конечными алфавитами — это обычно одни и те же множества. Но как только алфавит стано­вится бесконечным, возникают трудности: множество производя­щих элементов и область функций времени оказываются различ­ными множествами, в общем случае даже разной мощности.

Итак, системой называется отношение на непустых (абстракт­ных) множествах:

SМx{V_i, iОI}.

Если множество индексов / конечно, то выражение (1) мож­но переписать в виде

SМV₁*V₂*…*V_n.

Пусть I_xÌ I и I_yÌ I образуют разбиение множества I, т. е. пусть I_xÇI_y =Æ и I_xÈI_y =I.

Множество Х= Д{V_i. iОI_x,} называется входным объектом, а множество Y=Д{V_i,iОI_y} - выходным объектом системы. Тогда система S определяется отношением

S М X* У

и называется системой «вход — выход» («черный ящик»).

Если S является функцией

S: X®Y, то система называется функциональной.

Дата добавления: 2014-01-11