Критерий Вилькоксона

Как и в предыдущем случае решается следующая задача. Имеются две серии независимых наблюдений однородных случайных величин и , причем значения и дают различные значения средних или (и) различные рассеивания. Возникает вопрос: можно ли считать эти расхождения существенными или расхождения зависят от случайных выборок?

Простой в употреблении и вполне приемлемый по точности критерий для проверки гипотезы о тождественности функций распределения и предложил в середине прошлого века Вилькоксон. Критерий назван его именем.

Рассматривается нулевая гипотеза: . Конкурирующая гипотеза: .

Критерий основан на подсчете числа инверсий. Инверсии определяются так.

Измеренные значения и , располагаются в общую последовательность в порядке возрастания их значений. Пусть это будет, например, так:

где - члены, принадлежащие первой выборке;

- члены второй выборки. Эта последовательность - не убывающая, содержащая чисел, - количество чисел последовательности , - последовательности .

Если гипотеза верна, то достаточно очевидно, что числа из обеих последовательностей хорошо перемешиваются. Степень перемешивания определяется числом инверсий членов первой последовательности относительно второй. Если в упорядоченной общей последовательности некоторому предшествует одно значение , это означает, что имеет место одна инверсия.

Если некоторому предшествуют значений , то это значение имеет инверсий.

Для нашего примера член имеет одну инверсию с ; член - тоже одну с ; член имеет четыре инверсии (с ); член имеет шесть инверсий (с ).

Таким образом, общее число инверсий:

Показано, что случайная величина уже при и дает хорошее приближение к нормальному распределению с матожиданием и дисперсией:

При уровне значимости и нормальности распределения вероятность попадания значения в критическую область (что означает не подтверждение нулевой гипотезы) равна:

Отсюда следует, что левая критическая граница и правая критическая граница (рис. 5.3) равны соответственно:

Рис. 5.3. Левая и правая критические границы функции /(и) Значение t _{\alpha }определяется так:

- функция Лапласа, с которой мы встречались ранее, она табулирована. Наиболее актуальные соответствия уровней значимости и аргументов функции Лапласа указаны в табл. 5.4

Таблица 5.4. Уровни значимости и аргументы функции Лапласа
	2,33	1,96	1,65

Пример 5.4. С целью проверки адекватности модели центра коммутации сообщений измерено время задержки передачи сообщений на модели центра и непосредственно на самом центре. Результаты измерений сведены в табл. 5.5.

Таблица 5.5. Результаты измерений задержки сообщений
, сек	0,8	1,9	3,0	3,5	3,8	2,5	1,7	0,9	1,0	2,3
, сек	1,4	2,1	3,1	3,6	2,7	1,8	1,1	0,2	1,6	2,8

Последовательность - отклики модели, - данные, измеренные на центре. Проверка адекватности модели состоит в проверке нулевой гипотезы, то есть в том, что данные измерений идентичны в статистическом смысле. Решение

Составим в порядке возрастания общую последовательность времен задержек и (табл. 5.6).

Таблица 5.6. Общая последовательность времен задержек сообщений
0,2	0,8	0,9	1,0	1,1	1,4	1,6	1,7	1,8	1,9
2,1	2,3	2,5	2,7	2,8	3,0	3,1	3,5	3,6	3,8

Расчет числа инверсий для :

Расчет характеристик:

Примем уровень значимости . Тогда

Правая критическая точка:

Левая критическая точка:

Проверка гипотезы :

Гипотеза об идентичности распределений времен ожиданий в модели и в объекте не опровергается.

В заключение отметим, что при малых и () для критерия Вилькоксона составлены таблицы критических точек и для различных уровней значимости . Эти таблицы приводятся в широко известных изданиях, например, Б. Л. ван дер Варден "Математическая статистика", Б. В. Гнеденко и др. "Математические методы в теории надежности".

Дата добавления: 2014-01-11