Простейшие свойства сходящихся рядов

1. Пусть ряд

(3)

сходится и его сумма равна S, тогда ряд

(4)

также сходится и его сумма равна .

Доказательство: Рассмотрим частичные суммы рядов (3) и (4). Имеем

Так как ряд (3) сходится, то существует конечный предел последовательности его частичных сумм равный S, тогда

Последнее равенства и доказывает свойство.

2. Пусть имеются два сходящихся ряда:

(5)

и

(6)

Пусть А и В – суммы этих рядов. Тогда ряд

также сходится и его сумма равна .

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы последнего ряда

Найдем предел последовательности частичных сумм

При нахождении пределов мы воспользовались сходимостью рядов (5) и (6).

4. Определение Числовой ряд

,

полученный из ряда (1) путем отбрасывания первых n членов, называется остатком ряда (1). Принято обозначение:

(8)

Имеет место следующее утверждение:

Если ряд (1) сходится, то сходится любой из его остатков.

Справедливо и обратное утверждение

Если сходится хотя бы один из остатков ряда, то сходится и сам ряд.

Обозначим частичную сумму ряда (8), ее можно представить в виде

где - частичные суммы ряда (1). Можно записать

(9)

Зафиксируем число n. Если ряд (1) сходится, то для любого n, существует предел , тогда из равенства (9) будет следовать существование предела , что означает сходимость остатка (8).

Используя равенство (9) и проводя аналогичные рассуждения, можно доказать обратное утверждение.

Докажем еще одно свойство остатков сходящегося ряда.

Если ряд (1)сходится, то последовательность сумм его остатков стремится к нулю, т.е.

Доказательство. В следствие сходимости ряда (1), приходим к равенству

, (10)

где за S обозначена сумма ряда (1). По определению . Переходим к пределу в равенстве (10)

.

Дата добавления: 2014-01-11