Локальный экстремум функции нескольких переменных, необходимое условие экстремума. Достаточные условия существования экстремума

Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности.

Определение 2. Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если такое, что

Если для указанных имеет место противоположное неравен-

ство, то го-

ворят, что в точке функция достигает локального минимума. Точки локального минимума и локального максимума носят общее название локального экстремума [5].

Определение локального экстремума удобно перефразировать в терминах приращений.

Определение 2*. Функция достигает в точке локального минимума, если

Если же

то функция достигает в точке локального максимума.

Теорема 2 (необходимое условие локального экстремума). Если в точке функция достигает локального экстремума, то либо (если указанные частные производные существуют), либо хотя бы одна изне существует.

Доказательство вытекает из того, что функции одной переменной

будет иметь экстремумы в точках и соответственно, поэтому для них выполняется необходимое условие экстремума:

либо либо или не существует.

Заметим, что точки, для которых выполняется необходимое условие экстремума, носят название критических точек функции В критической точке может реализоваться локальный экстремум, а может и не реализоваться. Например, критическая точка является точкой минимума функции но не является точкой локального экстремума для функции Характер критической точки (с точки зрения существования в ней локального экстремума) устанавливается с помощью приводимой ниже теоремы 3. Для формулировки этой теоремы вводятся следующие обозначения:

Теорема 3 (достаточные условия локального экстремума). Пусть функция в критической точке и некоторой её окрестности имеет частные производные до второго порядка включительно, причем вторые частные производные непрерывны в точке Тогда имеют место следующие утверждения:

1. если то в точке функция достигает локального минимума;

2. если то в точке функция достигает локального максимума;

3. если то в точке функция не имеет локального экстремума.

Во всех остальных случаях ничего сказать о локальном экстремуме нельзя. Нужны дополнительные исследования.

Доказательство этой теоремы основано на формуле Тейлора

Заменяя здесь и учитывая, что – критическая точка и что

запишем формулу Тейлора в виде

Нам надо установить знак квадратичной формы в некоторой окрестности Из теории квадратичных форм известно, что

в случае квадратичная форма положительно определенна, т.е.

Тогда (см. (4)) при малых и приращение поэтому в точке будет (см. определение 2*) локальный минимум функции.

Если же то квадратичная форма будет отрицательно определенна: В этом случае из (4) вытекает, что при малых и приращение поэтому в точке будет (см. определе-

ние 2*) локальный максимум функции.

Если то в любой окрестности квадратчная форма

имеет по-крайней мере два значения разных знаков, поэтому и приращение также будет иметь по-крайней мере два значения разных знаков. В этом случае функция не будет иметь локального экстремума в точке. Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-11