Вращательное движение тела

3.1 Общие сведения и понятия.

Движение твёрдого тела, при котором какие-либо две точки тела остаются неподвижными, называется вращательным движением тела.

Пусть точки А и В тела неподвижны:. Возьмём любую точку С тела:.

Т.к., то точка С может двигаться только по окружности радиуса ОС с центром на прямой АВ. Плоскость окружности прямой АВ.

Будем приближать точку С к прямой АВ. Радиус окружности будет уменьшаться и, когда точка С попадёт на прямую АВ, обратится в 0, т.е. точка С остановится. Следовательно, вся прямая АВ состоит из неподвижных точек тела.

Если в твёрдом теле есть две неподвижные точки, то в нём существует целое множество неподвижных точек, образующих прямую, проходящую через две неподвижных точки. Эта прямая называется осью вращения тела.

В силу указанного свойства вращательного движения положение всех точек тела можно найти, если будет указан угол поворота тела вокруг оси вращения. Этот угол вводится следующим образом.

С началом в произвольной точке оси вращения выбираем неподвижную систему координат Oxyz: оси Ox и Oy оси, а ось Oz – вдоль оси вращения. С началом в этой же точке строим подвижную систему: оси оси вращения, а

ось – вдоль оси (совпадает с осью Oz). Эти оси прикреплены к точкам тела и движутся вместе с телом. При вращении тела подвижные оси поворачиваются относительно неподвижных Ox и Oy, образуя с ними угол j. Это и есть угол поворота тела.

Зная этот угол, можно определить положение всех точек тела в пространстве.

Если задать этот угол как функцию от времени t, то получим закон (или уравнение) вращательного движения тела:

Угол поворота тела должен измеряться в радианах:.

3.2 Угловая скорость и угловое ускорение тела.

Если задан закон (9), то можно найти

Эти величины (омега) и (эпсилон) называются, соответственно, угловой скоростью и угловым ускорением тела при вращательном движении. Таким образом:

Равенства (10) и (11) определяют величины угловой скорости и углового ускорения. Для того, чтобы можно было определить не только скорость изменения угла и угловой скорости, но и направление, в котором это изменение происходит (угол возрастает, или уменьшается; угловая скорость возрастет, или уменьшается) вводятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела.

Вектор угловой скорости тела направляют вдоль оси вращения от произвольной точки оси в ту сторону, с которой вращение тела выглядит происходящим против хода часовой стрелки.

Вектор углового ускорения тела также направлен вдоль оси вращения: в одну сторону с вектором угловой скорости, если модуль угловой скорости возрастает; в противоположную сторону – если модуль угловой скорости уменьшается.

При практических расчётах положительное направление угла поворота задаётся:

где – орт оси вращения z (как правило – в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против часовой стрелки). Тогда формулы (10), (11) определяют проекции угловой скорости и углового ускорения тела на ось вращения:

Если, то вектор направляют в положительную сторону оси вращения (так же, как и), а если, то – в отрицательную сторону оси вращения (противоположно к).

Если, то векторы и направлены одинаково; если же, то – противоположно!

Как видно из формул (10), (11) (или (13), (14)) модуль угловой скорости имеет размерность «рад/с», а модуль углового ускорения – «рад/с²». Слово «рад» часто опускают, и пишут «1/с», «с^-1», «1/с²», «с^-2».

В технике для измерения скоростей вращения тел вместо угловой скорости используют величину, называемую частотой вращения, обозначаемую через n и измеряемой в оборотах в минуту [ об/мин ]. Связь между n и очень простая: в одном обороте радиан, поэтому, если тело делает n оборотов в минуту, то оно поворачивается на радиан в минуту. Чтобы получить угловую скорость тела, надо разделить на 60 секунд. Сокращая на 2, получим окончательно

3.3 Определение скорости и ускорения произвольной точки вращающегося тела.

Пусть задано уравнение (9) вращательного движения тела и теле выбрана произвольная точка М. Требуется найти её векторы скорости и ускорения в любой момент времени.

Т.к. закон вращения известен, то по формулам (13) и (14) можно найти векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Положение точки в теле зададим её расстоянием от оси вращения R (радиус окружности, по которой движется точка).

Изобразим вид тела сверху (с положительного направления оси вращения) и перейдём к естественному способу задания движения точки тела:. Тогда

Таким образом, окончательно получаем.

Проекция скорости точки вращающегося тела на касательную к окружности

модуль скорости точки тела

касательное ускорение точки вращающегося тела

нормальное ускорение точки тела

модуль ускорения точки тела

Получим векторные формулы для скорости и ускорения точки вращающегося тела.

Рассмотрим векторное произведение

Его модуль равен

что полностью совпадает с выражением для модуля скорости точки. Как легко видеть, совпадают и направления. Поэтому

Равенство (20) называется формулой Эйлера для вектора скорости точки вращающегося тела.

Из выражения (20) получаем

Далее

Поэтому

или

Сравнивая с ранее полученной формулой для ускорения точки, получаем

Согласно равенствам (16), (17) и (18) модули скорости, касательного и нормального ускорений точек тела в данный момент времени пропорциональны их расстояниям до оси вращения. Поэтому при удалении от оси вращения все указанные величины линейно возрастают.

Вращательное движение чрезвычайно широко распространено в технике, благодаря широкому распространению механических передач.

Механическая передача – это механизм, предназначенный для преобразования вращательного движения одного тела во вращательное (или поступательное) движение другого тела с преобразованием угловых скоростей вращения.

Простейшая механическая передача состоит из двух взаимодействующих друг с другом колес.

Взаимодействие может быть непосредственным с внешним

,

или внутренним зацеплением

(при внешнем зацеплении колеса вращаются в разные стороны, а при внутреннем – в одну).

В ремённых передачах колеса взаимодействуют с помощью ремня, накинутого на колёса

При расчётах передач предполагается, что проскальзывания между взаимодействующими колесами нет, т.е. колеса относительно друг друга не скользят. Отсюда может быть получена связь между законами вращения колес, между угловыми скоростями, или между угловыми ускорениями взаимодействующих колес.

Обозначим через K точку взаимодействия колес в момент t.

Через промежуток времени, т.е. в момент колеса повернутся вокруг своих осей вращения, и точка К первого колеса перейдёт в положение К₁, а второго колеса – в положение К₂.

Так как скольжения между колесами нет, то совершенно очевидно, что длины дуг и равны между собой:

Если радиусы колёс известны, то, обозначив через и углы поворотов (в радианах!) соответственно первого и второго колёс, получим в силу равенства дуг

Равенство

является основой расчета механических передач. Его называют условием отсутствия скольжения между колёсами.

Если (25) продифференцировать по времени, то, учитывая постоянство радиусов, получим

или

Выражения (26), или (27), называют передаточным отношением передачи (читается: угловые скорости взаимодействующих колес обратно пропорциональны их радиусам).

(26) также означает, что скорости точки К у первого и второго колёс равны (скольжение отсутствует!).

Дифференцируя (26) по времени ещё раз, получим

что означает равенство касательных (только касательных!) ускорений точки К.

Если нужно учесть направления вращения колёс, то равенства (25), (26) записывают со знаком:

Знак «+» берут, если колёса вращаются в одну сторону (внутреннее зацепление, прямой ремень). Знак «–» – при вращении колёс в разные стороны (внешнее зацепление, перекрещенный ремень).

Страницы по книге С.М. Тарга:

117 – 126.

Дата добавления: 2014-01-11