Т3. Если и первообразные функции , то они отличаются друг от друга на постоянную величину

Т2. Если – первообразная функции, то функция (– произвольная постоянная) также является первообразной функции.

Т1. (о существовании первообразной) Если функция непрерывна на сегменте, то на этом интервале существует первообразная этой функции.

Док-во. .

Док-во. Пусть и . Введем в рассмотрение вспомога-тельную функцию и рассмотрим эту функцию на открытом интервале . По теореме Лагранжа для любого интервала выполняется равенство , где . По условию теоремы , следовательно, В силу произвольности точек и полученное равенство выполняется для всего исследуемого интервала. Это означает, что , откуда и вытекает утверждение теоремы.

Пример 1. Пусть дана функция . Найти первообразную этой функции. В случае наличия двух первообразных показать, что они отличаются на постоянную величину.

Для функции существуют две первообразные и . Их разность .

О2. Совокупность всех первообразных функцииназывается неопределенным интегралом и обозначается , где – переменная интегрирования, – подинтегральная функция, – подинтегральное выражение.

На основании Т2 и Т3 можно записать, что .

О3. Отыскание всех первообразных называется неопределенным интегрированием.

Выясним геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть дана функция и требуется найти такую кривую , для которой в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной равен значению функции в этой точке. Такой линией будет кривая, для которой . Таким образом, неопределенный интеграл определяет все кривые, у которых тангенс угла наклона в каждой ее точке совпадает со значением функции .

Пример 2. Построить кривые, которые задаются неопределенным интегралом .

Первообразной для подинтегральной функции будет функция , следовательно, . Построим эти кривые (Рис. 1):

Рис. 1. Интегральные кривые .

2. Свойства неопределенного интеграла.

Дата добавления: 2014-01-11