Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Т3. Если и первообразные функции , то они отличаются друг от друга на постоянную величину

Т2. Если – первообразная функции, то функция (– произвольная постоянная) также является первообразной функции.

Т1. (о существовании первообразной) Если функция непрерывна на сегменте, то на этом интервале существует первообразная этой функции.

Док-во. .

Док-во. Пусть и . Введем в рассмотрение вспомога-тельную функцию и рассмотрим эту функцию на открытом интервале . По теореме Лагранжа для любого интервала выполняется равенство , где . По условию теоремы , следовательно, В силу произвольности точек и полученное равенство выполняется для всего исследуемого интервала. Это означает, что , откуда и вытекает утверждение теоремы.

Пример 1. Пусть дана функция . Найти первообразную этой функции. В случае наличия двух первообразных показать, что они отличаются на постоянную величину.

Для функции существуют две первообразные и . Их разность .

О2. Совокупность всех первообразных функцииназывается неопределенным интегралом и обозначается , где переменная интегрирования, – подинтегральная функция, – подинтегральное выражение.

На основании Т2 и Т3 можно записать, что .

О3. Отыскание всех первообразных называется неопределенным интегрированием.

 

Выясним геометрический смысл неопределенного интеграла. Пусть дана функция и требуется найти такую кривую , для которой в каждой ее точке тангенс угла наклона касательной равен значению функции в этой точке. Такой линией будет кривая, для которой . Таким образом, неопределенный интеграл определяет все кривые, у которых тангенс угла наклона в каждой ее точке совпадает со значением функции .

Пример 2. Построить кривые, которые задаются неопределенным интегралом .

Первообразной для подинтегральной функции будет функция , следовательно, . Построим эти кривые (Рис. 1):

Рис. 1. Интегральные кривые .

 

2. Свойства неопределенного интеграла.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тема: Неопределенный интеграл | Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же самой линейной комбинации неопределенных интегралов от этих функций
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 464; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.