Необходимым, но недостаточным, признаком сходимости рядаявляется стремление общего члена ряда к нулю при бесконечном возрастании нумератора , т.е

Два сходящихся ряда и можно почленно складывать и вычитать, при этом сумма получающегося ряда, соответственно.

Если все члены сходящегося ряда умножить на число, то сходимость ряда не нарушается, а его сумма увеличится в раз.

Док-во. Представим общий член ряда в виде разности -ой и -ой частичных сумм: . Из сходимости ряда в силу единственности предела имеем , поэтому ( ) .

З3. Из рассмотренного свойства следует, что при выполнении условия обращения в нуль общего члена ряда при бесконечном возрастании нумератора, ряд может сходиться, а может и расходиться (ряд подозрителен на сходимость). Если , то ряд однозначно расходится. В связи с этим при исследовании рядов на сходимость первым всегда применяют необходимый признак сходимости, а затем – достаточные признаки сходимости.

Пример 5. Установить возможность сходимости рядов

1). ; 2). ; 3). .

1). Для первого ряда общий член ряда , поэтому – ряд подозрителен на сходимость.

2). Для второго ряда общий член ряда , поэтому – ряд подозрителен на сходимость.

3). Для третьего ряда общий член ряда , поэтому – ряд подозрителен на сходимость. В силу того, что , то ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой равен , т.е. . Так как сумма ряда конечна, то ряд сходится.

З4. Отметим, что последний ряд при расходится, так как в этом случае его сумма равна бесконечности. Первый ряд, несмотря на выполнение необходимого признака, расходится, а второй ряд – сходится, что будет доказано ниже.

Пример 6. Установить возможность сходимости рядов и (самостоятельно).

Лекция №19 “Достаточные признаки сходимости положительных рядов”

1. Сравнение рядов.

О1. Если все члены ряда положительны, то ряд называется положительным.

Для положительных рядов всегда существует сумма, а частичные суммы удовлетворяют неравенству , так как , а и . Рассмотрим достаточные признаки сходимости рядов.

Дата добавления: 2014-01-11