Интервал сходимости, центр сходимости, радиус сходимости степенного ряда

Степенные ряды. Теорема Абеля.

Рассмотрим ряд, членами которого являются степенные функции от аргумента x:

Такой ряд называется степенным. В этом ряде действительные числа

называются коэффициентами степенного ряда, величина x₀ –произвольно заданное действительное число, одно и то же для всех членов ряда, x - аргумент нашего функционального ряда. Величины и x₀ полностью задают степенной ряд.

Краткая запись ряда: . В случае x₀ = 0 имеем

ряд . Заметим, что при помощи преобразования x-x₀ = y можно свести задачу изучения ряда к изучению более простого ряда (в дальнейшем вместо y пишем x).

Для степенного ряда имеет место теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится в некоторой точке x₀, отличной от нуля (x₀ ¹ 0), то он сходится, причем абсолютно, и в любой точке x, удовлетворяющей условию . Докажем это.

Так как ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при стремлении номера n к бесконечности. Следовательно, члены этого ряда ограничены как члены сходящейся (к нулю) последовательности . Это означает, что существует такое положительное число M >0, что для всех номеров n выполняются неравенства: . Тогда берем произвольное x () и рассмотрим ряд: = =. Оценим абсолютную сходимость этого ряда: - сходится, ибо это геометрическая прогрессия со знаменателем .

Следствие. Если ряд расходится при x₀, то он расходится и при любом x, .

Дата добавления: 2014-01-11