Логическое следование (импликация)

Сложное высказывание «логическое следование» (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью выражения «если..., то...» или «если произошло событие a, то произойдёт событие b». Высказывание a, расположенное после слова «если», называется посылкой, а высказывание b, расположенное после слова «то», называется заключением.

Рассмотрим логическое следование на примере высказывания: «если из резервуара выливается вода, то в дне резервуара имеется отверстие». Это сложное высказывание состоит из двух простых высказываний. Первое высказывание a: «из резервуара выливается вода»; второе высказывание b: «в дне резервуара имеется отверстие».

Посылка a = из резервуара выливается вода

Заключение b = в дне резервуара имеется отверстие

На Рис. представлена таблица истинности для этого сложного высказывания.

Таблица истинности
Номер комбинации значений аргументов
	a	b	a	b	a	b	a	b
Из резервуара выливается вода
Из резервуара не выливается вода
В дне резервуара имеется отверстие
В дне резервуара не имеется отверстие
Функция F = a → b

На Рис. представлена таблица с реальными высказываниями и значения функции «импликация» для четырёх комбинаций значений логических переменных. Последовательность реальных высказываний соответствует последовательности комбинаций значений аргументов в таблице истинности.

Номер комбинации значений аргументов	Текст высказывания	Комментарий
	Если из резервуара выливается вода, то в дне резервуара имеется отверстие.	Сложное высказывание соответствует действительности
	Если из резервуара не выливается вода, то в дне резервуара имеется отверстие.	Сложное высказывание соответствует действительности, т.к. реально в резервуаре воды может и не быть
	Если из резервуара не выливается вода, то в дне резервуара не имеется отверстие.	Сложное высказывание соответствует действительности
	Если из резервуара выливается вода, то в дне резервуара не имеется отверстие.	Сложное высказывание не соответствует действительности

Рассмотрим логическое следование на примере другого сложного высказывания: «если каждое слагаемое делится на 3, то и сумма делится на 3». В данном сложном высказывании посылка: «каждое слагаемое делится на 3» является также сложным высказыванием, представляющим собой конъюнкцию (a = a1&a2). Заключением b является следующее высказывание: «сумма делится на 3». Составим таблицу истинности для логического следования, рассматривая этот пример (Рис.).

Простые высказывания:

a1 = первое слагаемое делится на 3

a2 = второе слагаемое делится на 3

Посылка (сложное высказывание) a = каждое слагаемое делится на 3

Заключение b = сумма делится на 3

			Аргумент 1		Аргумент 2	Функция
Вар.	Высказывание_1(a1)	Высказывание_2(a2)	Посылка (a= a1&a2)	Сумма	Заключение(b)	ИмпликацияF = a → b
	Слагаемое_1	Слагаемое_2
	6 (истинно)	9 (истинно)	(истинна)		1 (истинно)	(истинна)
	4 (ложно)	5 (ложно)	(ложна)		1 (истинно)	(истинна)
	6 (истинно)	5 (ложно)	(ложна)		(ложно)	(истинна)
	5 (ложно)	6 (истинно)	(ложна)		(ложно)	(истинна)
		В общем виде
	Х (истинно)	Y (истинно)	(истинна)	X+Y	(ложно)	(ложна)

Рис.

Вар	Формулировка	Функция

Т.к. функция имеет 2 аргумента, то в таблице истинности должно быть 4 комбинации их значений – 4 варианта. В таблице для каждого варианта подобран пример. Т.к. посылка является конъюнкцией, то для неё также существует 4 варианта, однако рассматриваются только такие варианты, которые необходимы для решения основной задачи – рассмотрения таблицы истинности основной функции – импликации.

В качестве варианта 1 рассматриваются слагаемые 6 и 9. В этом случае истинны высказывание a1 и высказывание a2. Посылка a формально истинна, как конъюнкция двух истинных переменных: a = a1&a2. Заключение В истинно, т.к. сумма 15 делится на 3. Очевидно, что в целом сложное высказывание - импликация истинно, т.к. оно соответствует действительности: F = a → b =1.

Вар.1 можно трактовать следующим образом: если из истинной посылки получено истинное заключение, то это соответствует логике (действительности); таким образом, общее сложное высказывание – импликация - является истинным.

Если же взять числа 4 и 5, то посылка будет ложной, а заключение истинным. Для чисел 6 и 5 и посылка, и заключение ложны.

Вар.2 и вар.3 можно трактовать следующим образом: из ложной посылки можно получить и ложное, и истинное заключение. Это соответствует логике (действительности); таким образом, общее сложное высказывание – импликация - является истинным.

Очевидно, что невозможен случай, когда каждое слагаемое делится на 3, а их сумма не делится на 3. Т.е. невозможен случай, когда посылка является истинной, а заключение - ложным. В алгебре логики считается, что из истины не может следовать ложь, иначе логика теряет смысл.

Функцию импликации можно заменить комбинацией двух функций (отрицания и конъюнкции). Обычно, когда необходимо установить ложность высказывания "Если a, то b", происходит процесс поиска значений таких переменных, чтобы посылка aбыла истинной, а заключение b - ложным (доказательство "от противного").

Импликация (логическое следование): сложное высказывание, состоящее из двух простых высказываний - посылки a и заключения b, является ложным тогда и только тогда, когда посылка a является истинной, а заключение b является ложным.

Запишем это определение в виде таблицы истинности:

Логическое следование (импликация)
№ варианта	Аргументы	Функция
Посылка	Заключение
a	b	F = a → b

Импликация равносильна логическому выражению +b: a → b = +b. Покажем справедливость этого утверждения путём сравнения таблиц истинности.

Логическое выражение +b
a	b		+b

Пример. Если число делится на 12, то оно делится и на 3.

Логическое следование (импликация)
№ варианта	Аргументы	Функция
Посылка	Заключение
a	b	F = a → b

Логическое следование (импликация)
	Аргументы
	Посылка	Заключение	Функция
		a		b	F = a → b
	24 делится на 12		24 делится на 3
	30 не делится на 12		30 делится на 3
	28 не делится на 12		28 не делится на 3
	36 делится на 12		36 делится на 3

Вар. 1. Для числа 24 и посылка a, и заключение b являются истинными. Импликация «если число 24 делится на 12, то число 24 делится на 3» является истинной (значение функции =1).

Вар. 2 и Вар. 3 можно объединить. Для числа 30 посылка является ложной (30 не делится на 12), а заключение является истинным (30 делится на 3), для числа 25 и посылка, и заключение являются ложными. Из ложной посылки может следовать и истинное, и ложное заключение, что соответствует действительности. Т.е. для этих вариантов функция «импликация» является истинной.

Вар. 4. Для истинной посылки не может быть ложного заключения (не существует числа, которое делится на 12, но не делится на 3). Этот вариант показывает, что Вар. 4 существует только формально.

Пример. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание, т.е.

(X>4) \/ ((X>1) → (X>4)) = 1

Возможные значения числа Х

Высказывание является дизъюнкцией двух высказываний. Т.к. первый элемент дизъюнкции - Х>4 = 0 для всех значений Х имеет значение 0 (ложь), то истинным должен быть второй элемент дизъюнкции (X>1) → (X>4) = 1. Второй элемент дизъюнкции представляет собой импликацию.

Представим таблицу истинности импликации для имеющихся значений переменной Х:

Логическое следование (импликация)
Значения Х	Аргументы	Функция
Посылка	Заключение
a (Х>1)	b (X>4)	F = a → b

Значения Х	Аргументы		Функция
	Посылка	Заключение	F = a → b
	a	b
	0 (Х = 1 не больше 1)	0 (Х = 1 не больше 4)	1 (если Х не больше 1, то Х не больше 4). Эта ситуация соответствует действительности.
	1 (Х =2 >1)	0 (Х=2 не больше 4)	0 (если Х>1, то Х>4). Эта ситуация не соответствует действительности.
	1 (Х=3>1)	0 (Х=3 <4)	Эта ситуация равносильна второй.
	1 (Х=4>1)	0 (Х=4 <4)	Эта ситуация равносильна второй.

Отсюда видно, что данное высказывание имеет значение «1» только при Х=1.

Дата добавления: 2014-01-11