Питання

Формула Тейлора

Нехай функція диференційована в точці, тоді, як відомо, в достатньо малому околі точки функція представляється в вигляді:

, коли. (1)

Сума двох перших доданків в правій частині (1) – це лінійна функція, чи інакше – це многочлен першого степеня:. Тоді (1) можна записати як

, коли. (2)

Визначення 2. Кажуть, що функція разів диференційована в точці, якщо існує такий окіл точки, в якому функція має всі похідні до порядку включно і, крім того, в точці існує.

ЗАДАЧА І. Нехай функція разів диференційована в точці. Чи існує такий многочлен степеня, що має місце співвідношення, аналогічне (2):

, коли, (3)

і якщо він існує, треба його побудувати.

Лема 1. Нехай функція разів диференційована в точці і

,

тоді, коли.

Тепер ЗАДАЧУ І можна переформулювати наступним чином.

Нехай функція разів диференційована в точці. Чи можна знайти многочлен степеня такий, щоб виконувалися умови:

(4)

Якщо ми знайдемо такий многочлен, то функція буде задовольняти всім умовам леми 1:

і тоді

, коли,

звідки, коли.

Таким чином, многочлен, який задовольняє умовам (4), дає рішення ЗАДАЧІ І.

Многочлен будемо шукати в виді:

.

Необхідно обрати коефіцієнти многочлена так, щоб виконувалися умови (4). Нехай:

Таким чином, враховуючи (4):

Таким чином шуканий многочлен

. (5)

Многочлен (5) вирішує ЗАДАЧУ І і називається многочленом Тейлора для функції з центром в точці.

Ми довели

Теорему 4. Нехай функція разів диференційована в точці, тоді має місце співвідношення:

, (6)

коли.

Формула (6) називається формулою Тейлора з залишковим членом в формі Пеано.

Якщо в формулі (5), то відповідний многочлен Тейлора називається многочленом Маклорена, а відповідна формула (6) називається формулою Маклорена.

Теорема 5. Нехай функція разів диференційована в точці, тоді для неї існує єдиний многочлен Тейлора з центорм в точці.

Теорема 6 (формула Тейлора з залишковим членом в формі Лагранжа). Нехай функція має похідну -го порядку, неперервну на, і нехай існує скінченна в, тоді така, що

, (7)

де.

Формула (7) називається формулою Тейлора з залишковим членом в формі Лагранжа.

1. В яких випадках можна використовувати правило Лопіталя?

2. Що можна сказати про, якщо не існує?

3. Яка функція називається сталою? Навести приклади сталих функцій.

4. Довести критерій сталості функції.

5. Яка функція називається монотонною, строго монотонною? Навести приклади монотонних функцій.

6. Чи може функція одночасно бути монотонно зростаючою і монотонно спадаючою? Навести приклади.

7. Довести критерій монотонності функції.

8. Нехай функція строго монотонно спадає на. Що можна сказати про знак її похідної на цьому інтервалі? Чому?

9. Нехай на. Що можна сказати про монотонність функції?

10. Що означає, що функція разів диференційована в точці? Навести приклади таких функцій.

11. Нехай функція разів диференційована в точці. Як вона може бути представлена в достатньо малому околі?

12. Визначення многочлена Тейлора, многочлена Маклорена.

13. Формула Тейлора з залишковим членом в формі Пєано.

14. Формула Тейлора з залишковим членом в формі Лагранжа.

Дата добавления: 2014-01-11