Интегрирование рациональных функций. Метод неопределенных коэффициентов

Метод интегрирования по частям

Теорема 3. Пусть функции определены и дифференцированы на, — непрерывны на, и функция имеет первообразную на этом интервале. Тогда функция также имеет первообразную на и выполняется равенство:

, (3.9)

или, учитывая, что, а, формулу (3.9) можно записать в эквивалентном виде:

. (3.10)

Формулы (3.9), (3.10) называются формулами интегрирования по частям.

Доказательство. По правилу вычисления производной произведения:

. (3*)

Учитывая свойство 1 неопределенного интеграла, при интегрировании левой части (3*) получим:

.

После интегрирования правой части (3*) имеем:

.

Таким образом:

.

Метод интегрирования по частям часто используется в случаях, когда подинтегральное выражение в качестве множителей одновременно содержит: степенную () и тригонометрическую (и т.д.) функции; степенную и обратную тригонометрическую (и т.д.); показательную () и тригонометрическую; логарифмическую и тригонометрическую (или обратную тригонометрическую) и т.д.

Пример. Вычислить.

Подинтегральное выражение содержит три множителя:. Как разбить это выражение на части и, которые фигурируют в правой части (3.10)? Ясно, что множитель может оказаться лишь в, а для двух других множителей возможны варианты:, тогда, или, тогда. Рассмотрим оба варианта.

. (3.11)

Надо отметить, что при восстановлении функции с помощью операции, достаточно взять лишь одну первообразную. В нашем примере мы выбираем в конкретном виде:, а не в общем виде:. Произвольная постоянная при вычислении неопределенного интеграла учитывается в окончательном его выражении.

Сделанная разбивка подинтегрального выражения на части привела к значительному его упрощению - табличному интегралу в правой части (3.11). Таким образом:

. (3.12)

Посмотрим, как повлияет на сложность вычислений другой вариант разбивки, упомянутый выше:

(3.13)

Формула интегрирования по частям используется вообще с целью упрощения подинтегрального выражения, но, как видно из правой части (3.13), в данном случае мы не упростили, а усложнили интеграл. Понятно, что из двух возможных вариантов разбивки надо выбирать первый.

Определение 2. Рациональной будем называть функцию, которая представляется в виде:

,

где — многочлены степени соответственно.

Рациональная функция называется правильной (неправильной), если ().Каждую рациональную функцию (рациональную дробь) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции. Для этого в неправильной рациональной дроби надо разделить числитель на знаменатель.

Таким образом, для решения вопроса интегрирования рациональных функций достаточно детально рассмотреть интегрирование лишь правильных рациональных функций, потому что интегрирование многочленов не вызывает трудностей.

Определение 3. Простейшими рациональными функциями называются функции таких 4-х типов:

І., ІІ., ІІІ., ІV.

где — действительные числа, а многочлен не имеет действительных корней, то есть. Каждая из этих функций является интегрированной:

І.; (4.1)

ІІ.; (4.2)

ІІІ.

; (4.3)

ІV. (4.4)

Первой из интегралов в правой части легко вычисляется:

.

Рассмотрим подробно вычисление второго интеграла:

Выведем рекурентную формулу для вычисления интегралов с помощью метода интегрирования по частям:

.

Последний интеграл можно преобразовать следующим образом:

.

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получим соотношение:

.

Разрешая последнее равенство относительно, получим:

(3.20)

Формула (3.20) является рекурентной формулой для вычисления интегралов вида. Она сводит вычисление к вычислению интеграла с предыдущим номером. Так — это табличный интеграл (берем одно из значений первообразных):

. (3.21)

Пользуясь (3.21), вычислим при помощи (3.20):,.

.

Для —:

=

,

и т.д. Таким образом можно вычислить интеграл для любого натурального показателя. Таким образом функции Іv-го типа также являются интегрированными. Из всего вышесказанного вытекает

Вывод: Каждая рациональная функция имеет первообразную.

Теорема 4. Каждая правильная рациональная дробь, может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших рациональных функций, а потому имеет первообразную.

Разложение правильной дроби на простейшие дроби связано с разложением знаменателя на простые множители. Как известно из алгебры, каждый многочлен с действительными коэффициентами раскладывается на действительные множители типа, при этом предполагается, что квадратичные множители не имеют действительных корней, а потому не раскладываются на действительные линейные множители. Объединяя одинаковые множители, если такие есть, и предполагая для упрощения старший коэффициент равным единице, можно схематично записать разложение этого многочлена в виде:

,

где — натуральные числа.

Если при разложении на множители знаменателя дроби множитель входит в лишь в первой степени, то ему при разложении на простейшие будет отвечать одна дробь —

.

Если среди множителей присутствует,, то при разложении ему будет отвечать сумма простейших дробей:

,

где — вещественные постоянные.

Квадратичному множителю в разложении поставим в соответствие при разложении на простейшие одну дробь вида ІІІ

,

если входит в в первой степени, и сумму из простейших дробей

,

если этот множитель входит с показателем. Тут, — действительные постоянные.

Пример. Разложить на сумму простейших рациональных функций дробь

.

Знаменатель дроби уже разложен на простые множители:. Множителю будет отвечать сумма из 3-х простейших дробей, поскольку показатель степени при равен 3:

,

множителю — сумма из 2-х простейших дробей, поскольку показатель степени при равен 2:

,

множителю — сумма из 3-х простейших дробей, поскольку показатель степени при равен 3:

.

Таким образом:

,

где — действительные коэффициенты, которые пока являются неизвестными.

Для определения неизвестных коэффициентов надо:

1. Привести все полученные простейшие рациональные функции к общему знаменателю, сложить их;
2. Приравнять числители, которые являются многочленами, полученной после сложения простейших функций дроби и данной рациональной дроби. Два многочлена являются равными, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях;
3. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в числителях. Результатом будет система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения данной рациональной функции на сумму простейших;
4. Решить полученную систему.

Разложение правильной рациональной функции на сумму простейших дает возможность для ее интегрирования с помощью формул (4.1) — (4.4).

Пример..

Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью: степень многочлена числителя равняется 2, а знаменателя - 5. Для интегрирования сначала разложим подинтегральную функцию на сумму простейших дробей. Знаменатель содержит простые множители. Множителю отвечает сумма 2-х слагаемых (показатель степени при равен 2):

,

а множителю — одна дробь

.

Таким образом

. (4.5)

Найдем неизвестные коэффициенты. Для этого приведем все дроби в правой части к общему знаменателю:

,

тогда равенство (4.5) будет иметь вид:

.

Из равенства числителей

вытекает равенство коэффициентов многочленов при одинаковых степенях:

Откуда

.

Таким образом:

. (4.6)

Пользуясь формулой (4.6), проинтегрируем данную рациональную функцию:

.

С помощью (4.1) - (4.4) получим:

.

Дата добавления: 2014-01-11