Простейшие свойства сумм Дарбу. Крайние интегралы Дарбу

Суммы Дарбу. Связь между интегральными сумами и сумами Дарбу

Нехай функция определена и ограничена на, и пусть дано произвольное разбиение:. Поскольку ограничена на, то она ограничена на каждом частичном сегменте. Обозначим:

,. (50)

Построим суммы вида:

. (60)

Определение 5. Суммы и называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для функции на, которые отвечают заданному разбиению.

Замечание. Для любого разбиения существует только одна нижняя и только одна верхняя суммы Дарбу (а интегральных сумм существует бесконечно много).

Пусть дано произвольное разбиение, а и - нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции на, которые отвечают заданному разбиению. Для имеет место неравенство:

(70)

Умножим неравенство (70) на и возьмем сумму по всем:

, (80)

т.е. (90)

Всегда ли можно сказать, что суммы Дарбу являются интегральными сумами, то есть всегда ли на можно найти точку, что или? Ответ на вопрос - НЕТ. Действительно, если функция не является непрерывной, то она не всегда достигает на супремума или инфимума. Но в случае, когда непрерывна на, а потому и на каждом частичном сегменте, по второй теореме Вейерштрасса она достигает на каждом супремума и инфимума, а суммы Дарбу здесь одновременно будут интегральными сумами.

В общем случае и являются соответственно инфимумом и супремумом для множества всех интегральных сумм, построенных для данного разбиения.

Теорема 2. Пусть задано разбиение. Если к этим точкам разбиения добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя не возрастет.

Доказательство. Докажем для случая, когда к разбиению добавляется одна точка (поскольку тогда добавление любого количества точек можно будет провести по индукции). Получим разбиение. Докажем, что.

Пусть попадает в некоторый частичный сегмент, при этом

,,.

Верхние суммы Дарбу, которые отвечают разбиениям и

(95)

(96)

отличаются одна от другой лишь теми слагаемыми, которые подчеркнуты в формулах (95) и (96). Поскольку,, то

,

откуда получаем, что, что и нужно было доказать.

Теорема 3. Любая нижняя сумма Дарбу не превышает любой верхней суммы Дарбу, если они даже отвечают разным разбиениям.

Доказательство. Если и - нижняя и верхняя суммы Дарбу для функции на, которые отвечают одному разбиению, то

.

Пусть теперь есть два произвольных разбиения и, и соответствующие им нижняя и верхняя суммы Дарбу: і. Построим новое разбиение. Тогда:

.

Пусть на определена ограниченная функция. Рассмотрим множество всевозможных разбиений этого сегмента и множества соответствующих этим разбиениям верхних и нижних сумм Дарбу. Пусть - множество нижних сумм Дарбу, - множество верхних сумм Дарбу. Понятно, что множество ограничено сверху любой верхней суммой Дарбу, а множество ограничено снизу любой нижней суммой Дарбу.

Определение 6. Нижним интегралом Дарбу называется:

.

Определение 7. Верхним интегралом Дарбу называется:

.

Определение 8. Нижний и верхний интегралы Дарбу называются крайними интегралами Дарбу. Если ограничена, то они всегда существуют.

Теорема 4. Пусть функция ограничена на, тогда

.

Теорема без доказательства.

Дата добавления: 2014-01-11