Лекція5. Поняття множини

Мета:

Основні питання:

1. Поняття множини і елемента множини.

2. Способи завдання множин.

3. Відношення між множинами.

4. Множина і поняття.

I. Поняття множини і елемента множини. В математиці часто приходиться розглядати певні групи об‘єктів як єдине ціле: числа від 1 до 10, натуральні числа, трикутники. Всі ці різноманітні сукупності називають множинами. Поняття множини являється одним з основних понять математики і тому не має означення через інші поняття. Його можна пояснити на прикладах: множина учнів класу, множина букв алфавіту, натуральні числа. В математиці розглядають множину, яка містить один об‘єкт, або не містить жодного елемента, яка називається пустою. Об‘єкти, з яких складається множина, називають його елементами. Часто приходиться з‘ясовувати належність елемента до розглянутої множини. Множини бувають скінчені і нескінчені. Скінченою множиною називають таку, елементи якої можна перерахувати. Нескінченими являються і множини чисел.

II. Способи завдання множин. Вважають, що множина визначається своїми елементами, тобто множина задана, якщо про будь-який об‘єкт можна сказати, належить він цій множині чи не належить. Множину можна задати, перерахувавши всі його елементи. Наприклад, . Якщо множина нескінчена, то її елементи перерахувати не можна. В таких випадках вказують характеристичну властивість його елементів. Характеристична властивість – це така властивість, якою володіє кожний елемент, який належить множині, і не володіє жоден з елементів, який йому не належить. Для того щоб задати деяку множину, достатньо або перерахувати всі його елементи, або вказати характеристичну властивість його елементів. Наприклад, множина А натуральних чисел, менших 7, задана вказанням характеристичної властивості його елементів, можна задати і так: , тобто перерахував його елементи.

III. Відношення між множинами. Задані дві множини: і . Видно, що елементи належать одночасно множині А і В. кажуть, що ці елементи – спільні для множин А і В, а самі множини перетинаються. Якщо множини не мають спільних елементів, то говорять, що вони не перетинаються. Множини і перетинаються, причому, кожний елемент множини В являється елементом множини А. в цьому випадку говорять, що множина В включена в А або що множина В являється підмножиною множини А. Множина В називається підмножиною множини А, якщо кожний елемент множини В належить множині А, і записують . Серед всіх підмножин заданої множини повинні бути обов‘язково пуста множина і сама множина. Якщо множини перетинаються, причому кожний елемент множини А являється елементом множини В, і навпаки, кожний елемент множини В являється елементом множини А, то говорять, що множини А і В є рівними. Тобто множини А і В називаються рівними, якщо , , записують . З означення випливає, що рівні множини складаються з однакових елементів і що порядок запису елементів множини не являється суттєвим. Наглядно відношення між множинами зображають за допомогою особливих малюнків, які називають кругами Ейлера. Поняття множини і підмножини в початковій математиці в явній формі не вивчається, але задач, пов‘язаних з виділенням деякої сукупності, учні розв‘язують багато. Наприклад, «серед даних чотирикутників вказати прямокутники», «назвати серед даних чисел парні».

V. Множина і поняття. Як відомо, будь-яке поняття має об‘єм. З теоретик-множної позиції об‘єм поняття – це множина об‘єктів, які можна назвати одним словом, яке позначає поняття. Наприклад, об‘єм поняття «трикутник» - множина трикутників, об‘єм поняття «прямий кут» - множина прямих кутів. Підхід до об‘єму поняття як множині дає можливість наглядно уявити відношення між поняттями. Існують поняття, які не знаходяться в відношенні роду і виду. Наприклад, поняття «квадрат» і «трикутник» - їх об‘єми не знаходяться в відношенні включення.

Дата добавления: 2014-01-11