СТО. Интервал и собственное время

Пусть в точке пространства с координатами x, y, z в момент времени t происходит некоторое физическое явление (событие). Пусть в другой точке x₁, y₁, z₁ в момент времени t, происходит другое событие, тогда по определению интервалом между двумя событиями называется величина равная: S=(9). Преобразуем (9), чтобы узнать чему оно равно в системе К’, пользуясь формулами (II). c²(t₁-t)²=1/(1-V²/c²){c²(t₁’-t’)²+2V(x₁’-x’)(t₁’-t’)+V²/c²(x₁’-x’)²}, (x₁-x)²=(x₁’-x’)²+V²(t₁’-t’)²+2V(x₁’-x’)(t₁’-t’), (y₁-y)²=(y₁’-y’)², (z₁-z)²=(z₁’-z’)², c²(t₁-t)²-(x₁-x)²=1/(1-V²/c²){ c²(t₁’-t’)²+2V(x₁’-x’)(t₁’-t’)+V²/c²(x₁’-x’)²-(x₁’-x’)²-V²(t₁’-t’)-2V(x₁’-x’)(t₁’-t’)}=1/(1-V²/c²){ (t₁’-t’)²(c²-V²)+ (x₁’-x’)²(1-V²/c²)}= 1/(1-V²/c²){c²(t₁’-t’)²(1-V²/c²)-(x₁’-x’)²(1-V²/c²)}=c²(t₁’-t’)²-(x₁’-x’)², S²=c²(t₁-t)²-(x₁-x)²-(y₁-y)²-(z₁-z)²=c²(t₁’-t’)²-(x₁’-x’)²-(y₁’-y’)²-(z₁’-z’)²=S’² (10). S=S’=invar (11).

▼ Мы показали, что интервал между двумя событиями является инвариантным. Мы рассматриваем бесконечно малые расстояния и интервалы между двумя событиями dx=(x₁-x), dt=(t₁-t), dS=(12). Пусть дана инерциальная система отсчета К’, в некоторой точке x’, y’, z’ происходит два события во время dt₀-измеряется часами, покоящимися в К’. Время dt₀ есть собственное время, прошедшее между двумя событиями. Найдем интервал между двумя событиями. dS==cdt₀, dt₀=(13)-связь интервала и времени. Подставим в (13) dS из формулы (12): dt₀=

=() (14)

dt. dt₀=dt(15)-связывает собственное время dt₀ с временем dt в К’.

55.СТО. 4-х мерная формулировка-преобразование Лоренца и вращение в плоскости x, τ.

Математическое отступление. Формулы преобразования координат вектора при повороте в системе (здесь рисунок). Получим связь a_x=>f₁(a_x;a_y), a_y=> f₂(a_x;a_y), +a_yy (1), +a_y’y’ (2)

a_x=_x=_x(a_x’x’+a_y’y’)=a_x’(_xx’)+a_y’(_xy)a_x’cosj+a_y’cos(+j), a_x=a_x’cosj-a_y’sinj(3)

a_α=R_αβa_β’ (4), R_αβ=(5), a’_xa_x’ a_α=, a’_α=, a_x=R_xxa’_x+R_xya’_y. Конец матем. отступления.

Введем формально четвертую координату. τ=ict (6). Будем считать, что формулы преобразования типа (3) и (4) справедливы и для координатной плоскости τx(здесь рисунок).

tgj=i(V/c) (7). Формулы преобразования (3) и (4) в точности совпадают с преобразованиями Лоренца (II).

cosj=1/=1/(8), sinj=cosjtgj, sinj=(iV/c)/(9), (8) и (9) подставим в (3): x=(x’-τ’iV/c)/ =(1/)(x’-ict’iV/c)=(x’+Vt’)/(I). Проверим вторую формулу τ=(x’iV/c+τ’)/, ict=(x’iV/c+ict’)/. t=(t’+x’V/c²)/. Таким образом поварот системы координатной плоскости xτ на угол j, дает для x, y, z и t формулу Лоренца.

Дата добавления: 2014-01-11