Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами

Учитывая, что процесс обслуживания КС первичных и вторичных вызовов является марковским, можно утверждать, что за время с конечной вероятностью возможны следующие события:

Ø поступление одного первичного или одного повторного вызова;

Ø окончание первого или второго этапа обслуживания одной линией пучка;

Ø прекращение одним из источников попыток добиться второго этапа обслуживания.

Вероятность поступления за время одного первичного вызова определяется ранее (см. раздел 1.4) и составляет аналогично вероятность поступления вторичного вызова при наличии К ИПВ

Вероятность окончания за время первого этапа обслуживания одной из i занятых таким обслуживанием линий (см. раздел 3.2)

Аналогично этому вероятность окончания второго этапа обслуживания одной из (j-1) занятых таким обслуживанием линий равна

Вероятность прекращения одним из (К) ИПВ существования равна

Перечисленные выше ординарные переходы системы с повторными вызовами иллюстрируются на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Возможные переходы из соседних состояний в состояние (i,j,K).

Обозначения, используемые на рисунке:

i – число линий, занятых первым этапом обслуживания,

j – число линий, занятых первым и вторым этапом обслуживания,

(j-i) – число линий, занятых вторым этапом обслуживания,

K – число ИПВ

- параметр распределения времени обслуживания вызова на первом этапе,

- параметр распределения времени обслуживания вызова на втором этапе.

- параметр распределения времени “размышления” абонента.

На оси времени отложим отрезок . Нас интересует вероятность того, что что в момент система будет находиться в состоянии (i, j, K). Возможны следующие ординарные переходы в это состояние (см. рис. 8.1). Выясним вероятности этих переходов.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

7-е состояние соответствует случаю, когда за ничего не происходит.

Суммируя перечисленные вероятности, получаем исходную систему уравнений

при этом:

Эту систему, учитывая диапазон изменения переменных, необходимо дополнить уравнениями, когда в системе заняты все линии обслуживания первого и второго этапов, то есть j=V. Это состояние системы (i,V,K), а соответствующие вероятности - .

Над описанной системой уравнений производятся такие же преобразования (см. раздел 3.2), получаем выражение определяющее вероятность , того что система в любой произвольный момент времени находится в состоянии (i,j,K).

Дата добавления: 2014-01-11