Формула Байеса (теорема гипотез)

Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н ₃/ А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:

(3.2)

Действительно, из (2.7) получим, что откуда следует справедливость формулы (3.2).

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н ₁ – первый попал, а второй промахнулся, Н ₂ – первый промахнулся, а второй попал, Н ₃ – оба попали, Н ₄ – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н ₁) = 0,6·0,3 = 0,18, р (Н ₂) = 0,4·0,7 = 0,28, р (Н ₃) = 0,6·0,7 = 0,42, р (Н ₄) = 0,4·0,3 = 0,12. Тогда р (А/Н ₁) = р (А/Н ₂) = 1, р (А/Н ₃) = р (А/Н ₄) = 0. Следовательно, полная вероятность р (А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:

Схема повторения испытаний. Формула Бернулли.

Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: p^kq^n-k, где q = 1 – p – вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:

. (3.3)

Пример. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке. Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком имеют 5% изделий.

Решение. Из постановки задачи следует, что последнее купленное изделие имеет особый знак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели 4 изделия. Найдем вероят-ность этого по формуле Бернулли: Тогда

р = 0,0006092·0,05 = 0,0000304.

Дата добавления: 2014-01-11