Линейные преобразования координат. Собственные векторы и собственные числа матрицы, их свойства. Характеристический многочлен матрицы, его свойства

Будем говорить, что на множестве векторов R задано преобразование А, если каждому вектору х R по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор А х R.

Определение 9.1. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов х и у и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

А(х + у)= А х + А у, А(λ х) = λ А х. (9.1)

Определение 9.2. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор х в самого себя.

Тождественное преобразование обозначается Е: Е х = х.

Рассмотрим трехмерное пространство с базисом е₁, е₂, е₃, в котором задано линейное преобразование А. Применив его к базисным векторам, мы получим векторы А е₁, А е₂, А е₃, принадлежащие этому трехмерному пространству. Следовательно, каждый из них можно единственным образом разложить по векторам базиса:

А е₁ = а₁₁ е₁ + а₂₁ е₂ +а₃₁ е₃,

А е₂ = а₁₂ е₁ + а₂₂ е₂ + а₃₂ е₃, (9.2)

А е₃ = а₁₃ е₁ + а₂₃ е₂ + а₃₃ е₃.

Матрица называется матрицей линейного преобразования А в базисе е₁, е₂, е_{3 .} Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах (9.2) преобразования базиса.

Замечание. Очевидно, что матрицей тождественного преобразования является единичная матрица Е.

Для произвольного вектора х =х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃ результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор А х, который можно разложить по векторам того же базиса: А х =х`<sub>1</sub> е<sub>1</sub> + х`₂ е₂ + х`<sub>3</sub> е<sub>3</sub>, где координаты x`_i можно найти по формулам:

х`₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

x`₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃, (9.3)

x`₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.

Дата добавления: 2014-01-11