Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений

В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функ­ций в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые производные (и производ­ные более высоких порядков), отбрасываются. Пусть приближенные значения неизвестных системы (например, полученные на предыду­щей итерации) равны соответственно . Задача состоит в нахождении приращений (по­пра­вок) к этим значениям , благодаря которым решение исходной системы за­пи­шется в виде: . Проведем разложение левых частей уравнений исходной системы в ряд Тэйлора, ограничи­ва­ясь лишь линейными членами относительно приращений:

Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к ну­лю и правые части:

 

в матричном виде:

Значения и их производные вычисляются при .

Определителем последней системы является якобиан:

.

Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации.

Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений к значениям неизвестных на каждой итерации. Счет прекращается, если все приращения становятся малыми по абсолютной величине:

.

В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хо­рошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем

или .

Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения системы нелинейных уравнений функции дважды непрерывно дифференцируемы и определитель матрицы Якоби не равен нулю. Тогда найдется такая малая – окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности, итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: , – метод сходится с квадратичной скоростью.

В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения систе­мы двух уравнений: , где и – непрерывно дифференцируемые функции. Пусть начальные значения неизвестных равны . После разложения исходной системы в ряд Тэйлора можно получить:

Предположим, что якобиан системы при и отличен от нуля:

.

Тогда значения и можно найти, используя матричный способ следующим образом:

.

 

Вычислив значения и можно найти и следующим образом:

.

Величины, стоящие в правой части, вычисляются при и .

Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если или .

Пример. Методом Ньютона решить систему двух уравнений:

с точностью до 0,001.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Постановка задачи. Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений | Решение. 1) Начальные приближения можно определить графическим способом
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 329; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.