Из первого уравнения находим

.

Второе уравнение есть стационарное уравнение Шредингера

. (4.5)

Пусть оператор энергии (гамильтониан) имеет собственные функции и собственные значения Е_n. Тогда в окончательном виде решение уравнения Шредингера для стационарных состояний имеет вид

. (4.6)

Отсюда следует, что состояния с определённым значением энергии Е_n гармонически зависят от времени с частотой w_n=E_n /ћ. Такие состояния называются стационарными. Для них важным является тот очевидный факт, что вероятность местоположения частицы и средние величины не зависят от времени!

Уравнения Шредингера вида (4.4) и (4.5) описывают одну квантовую частицу в некотором поле с потенциалом V(,t). Если квантовая система имеет много частиц, но взаимодействие между ними не учитывается, то в силу линейности гамильтониана и принципа суперпозиции уравнение Шредингера не изменяется, а волновая функция, как вероятностная характеристика независимых событий, определяется произведением всех одночастичных функций. Если учитывается взаимодействие между частицами, то потенциал взаимодействия должен зависеть от координат взаимодействующих частиц, т.е. V = V (,,...,,t), а оператор кинетической энергии должен быть суммой одночастичных операторов. Тогда уравнение Шредингера, например (4.5), принимает вид

^, (4.7)

где операторы Ñ _i действуют на координаты i -й частицы.

Рассмотрим свободное одномерное движение частицы (V =0). Для его описания будем решать уравнение Шредингера (4.5) с начальным условием

.

Гамильтониан задачи не содержит потенциальной функции и имеет вид

.

Поскольку гамильтониан не зависит от времени, то достаточно найти решение стационарного уравнения Шредингера только для координатной части волновой функции j (х),

(4.8)

а зависимость волновой функции от времени определяется формулой (4.6). Так как операторы , и коммутируют, то они имеют общую систему собственных функций. Прямой подстановкой легко проверить, что координатная часть волновой функции Де Бройля (1.13), являющаяся собственной функцией оператора ,

удовлетворяет уравнению (4.8) при непрерывном собственном значении

.

Тогда частное решение уравнения Шредингера – это волна Де Бройля

,

а общее решение – это суперпозиция всех частных решений (возможных состояний):

.

Таким образом, волновая функция свободной частицы есть ни что иное, как «волновой пакет».

Дата добавления: 2014-01-11