Масса. Вычисление массы плоской фигуры

Физические приложения двойных интегралов.

Геометрические приложения ДВИ.

Лекция №3

Геометрические и физические приложения ДВИ.

1 ) Вычисление объёмов пространственных тел.

Согласно геом.смыслу ДВИ (см. л.№1 п.1.2) объём ЦТ, ограниченного снизу замкнутой областью областью D плоскости xOy, сверху плоскостью Z=f(x, y), где функция f(x, y) непрерывная и неотрицательная " (x, y) є D, а сбоку – цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси Oz и направляющей – границей области D, вычисленной по формуле

V = òòf(x, y) ×dx dy (1)

D

Если поверхность определяется уравнением z=f(x,y) (x=j(y,z) или y=y(x,z)), тогда область D лежит в плоскости yOz (xOz), а формулы для вычисления V такого ЦТ примут вид:

V = òòj(x, y) ×dy dz (2)

D

V = òòy(x, y) ×dx dz (3)

D

2) Вычисление S плоской фигуры:

Если в формуле (1) положить f(x,y)º1, то

òò1×dx dу =òòdx dу= S_m (см. л.№1 п1.3.) (4)

D D

Знакомую формулу для вычисления S с помощью ОИ можно получить из формулы (4)

b j₂(x) b j₂(x) b

òòdx dу=ò dx ò dу = ò dx×у = ò(j₂(x)- j₁(x)) dx

D а j₁(x) а j₁(x) а

3) Вычисление S куска поверхности замкнутой линией. Рассмотрим в пространстве xOyz, поверхность определяемую уравнением z=f(x,y), если кусок поверхности, ограниченной замкнутой линией проецируется в замкнутую область D и функции f(x,y), f¢_x(x,y) f¢_y(x,y) непрерывны в этой области, то площадь S этого куска поверхности определяется формулой

S= òòÖ 1+(f¢_x(x,y))²+(f¢_y(x,y))²) dx dу (5)

D

Если x=j(y,z), то

S= òòÖ 1+(j¢_y(y,z))²+(j¢_y(y,z))²) dу dz (6)

D

А для уравнения y=y(x,z)

S= òòÖ 1+(y¢_x(x,z))²+(y¢_z(x,z))²) dx dz (7)

D

Исходя из физ.смысла ДВИ масса плоской тонкой неоднородной пластины имеющей форму Д, у которой поверхностная плотность δ есть непрерывная функция координат точки δ= δ(x,y)dxdy, определяется формулой:

Дата добавления: 2014-01-11