Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Нормальный ряд

Докажем две теоремы о гомоморфизмах.

Теорема 2.8. Пусть H нормальный делитель группы G и P – подгруппа G. Тогда - нормальный делитель P и

Доказательство. Пусть и . Тогда так как H нормальный делитель G, и т.к все элементы из P. Следовательно, - нормальный делитель P. Соответствие является взаимно однозначным и сохраняет операцию. Теорема доказана.

Теорема 2.9. Пусть P – нормальный делитель и . Тогда T – нормальный делитель G и .

Доказательство. Рассмотрим , где ,. Поскольку , то , и, значит T – нормальный делитель G. Соответствие является взаимно однозначным, т.к. и сохраняет операцию.

Группа называется простой, если в ней нет нормального делителя отличного от нее самой и единичной подгруппы.

Нормальный ряд группы – последовательность подгрупп, в которой каждая следующая является нормальным делителем предыдущей. Если все группы нормального ряда содержатся в нормальном ряде , то говорят, что второй нормальный ряд получен уплотнением первого нормального ряда.

Нормальный ряд без повторений, который нельзя уплотнить называется композиционным.

Для нормального ряда определены факторы . Два нормальных ряда называются изоморфными, если все факторы первого ряда изоморфны факторам второго ряда переставленным в определенном порядке.

Свойство 2.13. Если нормальные ряды и изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти изоморфное ему уплотнение второго ряда.

Доказательство. Допустим, что между подгруппами и появились новые подгруппы . Поскольку и, значит, факторы изоморфны соответствующим подгруппам . Обозначим через соответствующую подгруппу . Определим последовательность групп , где i =1,…, t. По доказанной выше теореме . Таким образом, уплотнение второго ряда группами является изоморфным. свойство доказано.

Теорема 2.10 (Шрайер) Два нормальных ряда одной группы обладают изоморфными уплотнениями

Доказательство. Пусть - первый нормальный ряд, а - второй нормальный ряд. Если k =2 или s =2, то теорема очевидна. Докажем теорему для k =3 индукцией по s. Рассмотрим случай s =3. Ряды и изоморфны (т.к. и ) и являются уплотнениями исходных рядов. Пусть утверждение верно для s- 1, выведем его справедливость для s. По предположению индукции, ряды и обладают изоморфными уплотнениями. Ряд изоморфен , и, значит, для любого уплотнения найдется изоморфное уплотнение . Следовательно, утверждение теоремы при k =3 доказано для всех s. Пусть утверждение теоремы справедливо для k -1, покажем его справедливость для k. Ряды и обладают изоморфными уплотнениями. Пусть - уплотнение первого ряда. По предположению индукции ряды и обладают изоморфными уплотнениями. Следовательно, теорема доказана.

Следствие 2.5. Любые два композиционные ряда одной и той же группы изоморфны.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Гомоморфизм групп | Простота знакопеременной группы
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 279; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.