Шершнев В. Г. Часть I. Дифференциальное исчисление

Ш Математический анализ. Часть I. Дифференциальное исчисление.

Курс лекций для дистанционной формы обучения. – М.: ГОУ ВПО

Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором на экономических факультетах РЭА им. Г. В. Плеханова. Содержит теоретический материал по разделам математического анализа: множества, пределы последовательностей и функций, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Приводится решение характерных заданий. Пособие соответствует программе по математическому анализу для студентов экономических специальностей.

Календарно-тематический план.................................
Глава I. Введение в математический анализ.....................
1.1. Множества.................................................
1.1.1. Определение множества..................................
1.1.2. Операции над множествами...............................
1.1.3. Свойства операций над множествами.......................
1.1.4. Декартово произведение множеств.........................
1.1.5. Модуль числа, его свойства................................
1.1.6. Грани числовых множеств.................................
1.1.7. Счетные и несчетные множества...........................
1.2. Функции, их классификация.................................
1.3. Предел последовательности..................................
1.4. Предел функции............................................
1.4.1. Определение предела функции.............................
1.4.2. Геометрический смысл предела.............................
1.4.3. Односторонние пределы. Необходимое и достаточное условия существования предела функции..................................
1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции..............
1.5.1. Определение бесконечно малой функции....................
1.5.2. Свойства бесконечно малых функций.......................
1.6. Теоремы о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции...........................................
1.7. Теоремы о пределах (свойства пределов).......................
1.8. Замечательные пределы......................................
1.8.1. Первый замечательный предел.............................
1.8.2. Второй замечательный предел.............................
1.8.3. Применение второго замечательного предела в финансовых вычислениях.....................................................
1.9. Сравнение бесконечно малых функций.........................
1.10. Непрерывность функции в точке и на отрезке..................
1.10.1. Определение непрерывности функции.....................
1.10.2. Действия над непрерывными функциями...................
1.10.3. Непрерывность элементарных функций....................
1.10.4. Свойства непрерывных функций..........................
1.10.5. Точки разрыва функций..................................
Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной...........................................................
2.1. Производная функции.......................................
2.1.1. Определение производной функции........................
2.1.2. Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной и непрерывностью функции......................................
2.1.3. Непосредственное нахождение производной.................
2.1.4. Геометрический смысл производной........................
2.1.5. Механический смысл производной.........................
2.1.6. Правила дифференцирования функций......................
2.1.7. Вывод производных основных элементарных функций........
2.1.8. Сводка формул. Правила дифференцирования и таблица производных.......................................................
2.1.9. Производные высших порядков............................
2.1.10. Эластичность функции...................................
2.1.11. Геометрический смысл эластичности......................
2.1.12. Экономический смысл эластичности.......................
2.1.13. Свойства эластичности функции..........................
2.2. Дифференциал функции одной переменной.....................
2.2.1. Определение дифференциала функции......................
2.2.2. Геометрический смысл дифференциала......................
2.2.3. Свойства дифференциала.................................
2.2.4. Применение дифференциала для приближенных вычислений...
2.2.5. Дифференциалы высших порядков.........................
2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях......................
2.3.1. Теорема Ролля...........................................
2.3.2. Геометрический смысл теоремы Ролля......................
2.3.3. Примеры использования теоремы Ролля.....................
2.3.4. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции..........
2.3.5. Геометрический смысл теоремы Лагранжа...................
2.3.6. Теорема Коши...........................................
2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя.................................................
2.3.8. Применение правила Лопиталя для раскрытия неопределенностей типа степени..............................................
2.4. Формулы Тейлора и Маклорена...............................
2.4.1. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.......
2.4.2. Формула Маклорена.....................................
2.4.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена..........................................
2.4.4. Применение формулы Маклорена для вычисления пределов и значений функций..............................................
2.5. Исследование функций.....................................
2.5. 1.Необходимый и достаточный признаки монотонности функций.
2.5.2. Определение экстремума функции..........................
2.5.3. Необходимый признак экстремума функции.................
2.5.4. Первый достаточный признак экстремума функции (с использованием первой производной).....................................
2.5.5. Второй достаточный признак экстремума функции (с использованием производной второго порядка).............................
2.5.6. Определение выпуклости, вогнутости графика функции, точки перегиба......................................................
2.6.7. Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции
2.5.8. Необходимый признак существования точки перегиба........
2.5.9. Достаточный признак существования точки перегиба..........
2.5.10. Асимптоты графика функции.............................
2.5.11. Построение графика функции.............................
Глава III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.....................................................
3.1. Определение функции нескольких переменных..................
3.2. Предел функции нескольких переменных.......................
3.3. Бесконечно малые функции нескольких переменных.............
3.4. Свойства пределов..........................................
3.5. Непрерывность функций нескольких переменных. Точки и линии разрыва.......................................................
3.6. Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных...................................................
3.6.1. Геометрический смысл частных производных................
3.7. Дифференцируемость функции нескольких переменных..........
3.8. Необходимые условия дифференцируемости функции нескольких переменных...................................................
3.9. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных...................................................
3.10. Полный дифференциал функции нескольких переменных.......
3.10. 1. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных для приближенных вычислений..........................
3.11. Частные производные высших порядков.......................
3.12. Дифференциалы высших порядков..........................
3.13. Частные производные сложной функции нескольких переменных
3.14. Производная функции, заданной неявно......................
3.15. Производная функции по направлению.......................
3.16. Градиент функции, его свойства............................
3.17. Формула Тейлора для функций двух переменных..............
3.18. Локальный экстремум функции нескольких переменных........
3.19. Необходимый признак локального экстремума................
3.20. Достаточный признак локального экстремума функции двух переменных.....................................................
3.21. Метод наименьших квадратов (МНК)........................
3.22. Условный экстремум функции нескольких переменных.........
3.22.1. Постановка задачи......................................
3.22.2. Нахождение критических точек...........................
3.22.3. Метод множителей Лагранжа.............................
3.22.4. Достаточный признак условного экстремума функции нескольких переменных...........................................
3.23. Абсолютный экстремум функций нескольких переменных......
Вопросы к экзамену.............................................
Литература....................................................