Методы интегрирования определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов используются те же методы, что и при нахождении неопределенных интегралов. Однако, имеются некоторые особенности.

1. Замена переменной в определенном интеграле отличается от замены переменной в неопределенном интеграле тем, что в результате замены изменяются пределы интегрирования и нет необходимости выполнять обратную замену. Пусть функция непрерывна на отрезке , функция имеет непрерывную производную на отрезке . Тогда

.

Пример 5.1.

.

2. Интегрирование по частям.

Теорема 5.1. Если функции и дифференцируемые и имеют непрерывные производные на отрезке , то

.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как , то функция является первообразной для функции и по формуле Ньютона-Лейбница .

Отсюда, используя свойства определенного интеграла, получаем

или

.

Пример 5.2. Найти , где .

Используем интегрирование по частям для нахождения рекуррентной формулы для вычисления интегралов вида при любом n Î N.

.

Учтем, что , получим

.

Получили уравнение относительно интеграла

.

Отсюда получаем рекуррентную формулу

.

Используя данную формулу, можно вычислить интеграл вида при любой степени n подынтегральной функции. Рассмотрим два случая, когда n – четное и когда n – нечетное.

1. Если четное, то .

Найдем ,

.

Например, .

2. Если +1 нечетное, то .

Найдем ,

.

Например, .

Дата добавления: 2014-01-11