Определенных интегралов

Формула Симпсона для приближенного вычисления

Для получения формулы Симпсона интервал интегрирования разбивается на четное число 2 n элементарных отрезков. На каждой паре отрезков подынтегральная функция заменяется параболой.

Теорема 5. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой на интервале длиной 2 h (рис. 74) находится по формуле

, где .

Рис. 74

Запишем уравнение параболы, проходящей через точки . Для этого используем формулу интерполяционного многочлена Лагранжа, которая в общем случае имеет вид .

Уравнение параболы в рассматриваемом случае имеет вид

или

.

Найдем площадь трапеции на отрезке как интеграл .

.

Просуммируем площади трапеций на элементарных отрезках. Найдем приближенное значение интеграла

,

где , приведем подобные и получим формулу Симпсона в окончательном виде

.

Для вычисления определенного интеграла с заданной точностью выбирают произвольно (на основе опыта или интуитивно) число n или 2 n элементарных отрезков и по одной из формул для приближенного вычисления производят расчет интеграла. Получают некоторое значение интеграла . Затем увеличивают число элементарных отрезков в 2 раза и снова производят расчет. Получают новое значение интеграла . Сравнивают полученные результаты. Если , где e - требуемая точность вычисления интеграла, то расчет заканчивают. Значение принимают за окончательное. Иначе число элементарных отрезков увеличивают еще в 2 раза и снова производят расчет.

Пример 5.16. Вычислить .

Примем . Длина элементарных отрезков .

Вычислим значение подынтегральной функции в граничных точках элементарных отрезков

i
		0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
		0,01	0,04	0,09	0,16	0,25	0,36	0,49	0,64	0,81	1,0

По первой формуле прямоугольников получаем

По второй формуле прямоугольников получаем

По формуле трапеций можно получить .

По формуле Симпсона получим (, )

Точное значение интеграла .

Значение интеграла, найденное по формуле Симпсона, совпадает с точным значением интеграла, так как подынтегральная функция является параболой , что так же предполагалось при выводе формулы Симпсона.

Дата добавления: 2014-01-11