Свойства сочетаний. Треугольник Паскаля

Бином Ньютона

Бином Ньютона – это формула, выражающая натуральную степень двучлена (а+b) в виде степеней его слагаемых с определенными коэффициентами.

Теорема: Для имеет место равенство:

Частными случаями этой формулы являются (а+b)²; (а+b)³.

1. Правило симметрии:

В соответствии с этим правилом будем иметь:

2. Правило Паскаля:

3.

Правило симметрии и правило Паскаля позволяют составить таблицу биноминальных коэффициентов: треугольник Паскаля.

Если n = 0, то можно найти лишь и это число равно 1.

Если n = 1, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии эти числа равны друг другу и равны 1.

Если n = 2, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии , а по правилу Паскаля .

Если n = 3, то можно найти: . В соответствии с правилом симметрии , а по правилу Паскаля . По правилу симметрии можно найти . Тот же результат мы получим, если воспользуемся правилом Паскаля: .

Таким образом, замечаем, что по краям треугольника Паскаля должны стоять единицы, а любое число n – ой строки равно сумме чисел предыдущей строки, стоящих над ним справа и слева.

n
		1 1
		1 2 1
		1 3 3 1
		1 4 6 4 1
		1 5 10 10 5 1
		1 6 15 20 15 6 1

Треугольник Паскаля позволяет быстро записать любую натуральную степень двучлена.

Например,

Теорема: Конечное множество А, содержащее n элементов, имеет 2 ⁿ подмножеств.

Доказать самостоятельно, что 2 ⁿ = .

Дата добавления: 2014-01-11