Регрессионный анализ. Пусть изучается двумерная случайная величина (Х, Y), и получена выборка из п пар чисел (х1, у1), (х2

Пусть изучается двумерная случайная величина (Х, Y), и получена выборка из п пар чисел (х ₁, у ₁), (х ₂, у ₂),…, (х_п, у_п). Будем искать параметры прямой линии среднеквадратической регрессии Y на Х вида

Y = ρ_yxx + b, (1)

Подбирая параметры ρ_ух и b так, чтобы точки на плоскости с координатами (х ₁, у ₁), (х ₂, у ₂), …, (х_п, у_п) лежали как можно ближе к прямой (1). Используем для этого метод наименьших квадратов и найдем минимум функции

. (2)

Приравняем нулю соответствующие частные производные:

.

В результате получим систему двух линейных уравнений относительно ρ и b:

. (3)

Ее решение позволяет найти искомые параметры в виде:

. (4)

При этом предполагалось, что все значения Х и Y наблюдались по одному разу.

Чаще уравнение регрессии записывают в ином виде, вводя выборочный коэффициент корреляции. Выразим b:

.

Подставим это выражение в уравнение регрессии: . Получим

, (5)

где Введем понятие выборочного коэффициента корреляции

и умножим равенство (5) на : , откуда . Используя это соотношение, получим выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х вида

. (6)

Дата добавления: 2014-01-11